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1、1、（本题20分）如图6所示，宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R。当飞 船运行到P点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的a倍。因a 很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。飞船喷气质量可以不计。（1）试求飞船新轨道的近火星点A的高度h片和远火星点B的高度h ；近远（2）设飞船原来的运动速度为v，试计算新轨道的运行周期T。01参考解答_i GM:对圆轨道应用动力学，有：v =0 Yr + Hr + r椭圆的长半轴：a = 丁R + H1a2则椭圆轨道上P点的速度：1v =(V2 + (av )2=+ a 2:GM 引r TTP 0 0R +
2、 H1GmM1GmM对P_A过程，机械能守恒:m V2 =m V22 P R +H2ArA比较 P、 A 两点，用开普勒第二定律（此处特别注意， P 点的速度取垂直矢径的分速度）：v r = v r0 P A A解四式可得：R + HrA =-A1+a同理，对 P 和 B 用能量关系和开普勒第二定律，可得： rBB最后对圆轨道和椭圆轨道用开普勒第三定律可得椭圆运动的周期。答： h 近 =H aR1+aH + aR1a2 兀(R + H)；T =v02， （20 分）有一个摆长为 l 的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在 过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处（xl）的C点有一固定的 钉
3、子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡当l一定而x取 不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O点），然后放 手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试 求x的最小值.1 宀2.参考解答 摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为 m ，则 摆球受重力mg和摆线拉力t的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为V，如图预解20-5所示。用a表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则 有方程式mv 2 T + mg c o a =1x运动过程中机械能守恒，令0 表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角 取O点为势能零点，则有关系1m
4、g1 cOs0 = 2 沖-mg X （1 X）cOs a）1）2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松 弛，此时T =0,此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆0C mx 1球速度v = V0,摆线与竖直线的夹角a=a0，由式（1）得v2 = g(1 x)cos a ，003）代入（2）式，求出2l cos0 =3(x-l)cosa + 2x04）要求作斜抛运动的摆球击中C点，则应满足下列关系式:(1 x)sin a = v cosa t ，0 0 05）1(1 x)cos a =v sin a t + gt 20 0 0 26）利用式（5）和式（6）消去t
5、，得到g(1 x)sin 2aV 2 =002cosa07）由式（3）、（7）得到cos a8）代入式（4），求出0 = arccosx(2 + *3)-1 爲2l9）0 越大， cos 0 越小，x越小，0最大值为兀/2，由此可求得x的最小值:x(2 + 甘3) = : 31 ,所以10)x = (2i：3 3)t = 0.46413，（20 分）如图所示，一根长为 L 的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为m和m 杆可绕距a球为L/4 ab处的水平定轴0在竖直平面内转动.初始时杆处于竖直位置.小 球b几乎接触桌面在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一 个质量为m的立方体匀质
6、物块，图中ABCD为过立方体中心且与 细杆共面的截面.现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕0轴 逆时针转动，求当a转过 角时小球b速度的大小设在此过程 中立方体物块没有发生转动，且小球 b 与立方体物块始终接触没 有分离.不计一切摩擦.4、把上端A封闭、下端B开口的玻璃管插入水中，放掉部分空气后放手,玻璃管可以竖直地浮在水中（如下图）.设玻璃管的质量m=40克，横截面积S=2厘米求玻璃管内外水面的高度差h. 用手拿住玻璃管并缓慢地把它压入水中,当管的A端在水面下超过某一深度时，放手后玻璃管不浮起.求这个深度. 上一小问中,放手后玻璃管的位置是否变化?如何变化?（计算时可认为管内空气的温度不变）
7、5、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角0=30 （如右图）一条长度为l的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为 m的小物体（物体可看作质点，绳长小于圆锥体的母线）物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀 速圆周运动（物体和绳在上图中都没画出）. （1）当v- 1时，求绳对物体的拉力.,水面以上部分的长度b=1厘米，大气压强P=10（2）当v= |gl时，求绳对物体的拉力.6、（13分）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图所示.绳的P端拴在车 后的挂钩上,Q端拴在物体上设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量
8、和尺寸、滑轮上的摩擦 都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H.提升时，车加速向左 运动，沿水平方向从A经过B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB.求在车由A移到B 的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.帕斯卡.玻璃管壁厚度不计,管内空气质量不计.7. 在两端封闭、内径均匀的直玻璃管内，有一段水银柱将两种理想气体a和b隔开.将管竖立着， 达到平衡时,若温度为T,气柱a和b的长度分别为la和lb；若温度为T ,长度分别为l抋和l抌.然 后将管平放在水平桌面上，在平衡时,两段气柱长度分别为l攁和l攂.已知T、T扌耳水银柱8.如图所示，质量为M二9Kg
9、1的小车放在光滑的水平面上，其中AB部分为半径R=0.5m的光滑才圆弧，BC部分水平且不光滑，长为L=2m, 一小物块质量m=6Kg,由A点静止释放，刚好滑到C点静止（取g=iomS2），求： 物块与 BC 间的动摩擦因数 物块从A滑到C过程中，小车获得的最大速度9. 如图所示，在光滑水平面上放一质量为M、边长为l的正方体木块，木块上搁有一长为L的轻质光 滑棒，棒的一端用光滑铰链连接于地面上0点，棒可绕0点在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为 m的均质金属小球开始时，棒与木块均静止，棒与水平面夹角为a角当棒绕0点向垂直于木块接触边 方向转动到棒与水平面间夹角变为0的瞬时，求木块速度的大小.
10、10如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子.今逐渐增大圆图 2.11环的转动角速度血，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置以珠子所停处的 半径与竖直直径的夹角&表示.11 如图所示，一木块从斜面 AC 的顶端 A 点自静止起滑下，经过水平面 CD 后，又滑上另一个斜面 DF， 到达顶端 F 点时速度减为零。两斜面倾角不同，但木块与所有接触面间的摩擦系数相同，若 AF 连线与水 平面夹角为e，试求木块与接触面间的滑动摩擦系数p。12.图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的1/4圆周连接而成, 它们的圆心O、O2与两圆弧的连接点
11、0在同一竖直线上.O2B沿水池的水面一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑1 若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O的连线与竖直线的夹角表示）.2凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O2的距离如何?参考解答1 参考解答:对圆轨道应用动力学，有：v飞R%0 R + H则椭圆轨道上P点的速度：VP =d v0 + （av0）2 1 +a 2v0rP答：2.参考解答对PT 过程，机械能守恒：2 m V2 GmMH =占m V22 p R + H 2 a比较 P、 A 两点，用开普勒第二定律（此处特别注意， PvArA解
12、四式可得：同理，对 P 和 B 用能量关系和开普勒第二定律，可得：椭圆的长半轴：a =知毎=21 a2GmMrA点的速度取垂直矢径的分速度）：rB最后对圆轨道和椭圆轨道用开普勒第三定律可得椭圆运动的周期。H aRH + aR=，h =； T =1 + a远 1 aBCD摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为 m ，则 摆球受重力mg和摆线拉力t的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为 V，如图预解20-5所示。用a表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则 有方程式mv 2 T + mg c o a =1x运动过程中机械能守恒，令0 表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角 取O点为势能零点
13、，则有关系1一咖 cos0= 2 mv2 - mg x 一（1 一 x）cos a）1）2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松 弛，此时T =0,此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆0tC mx 1球速度v = V0,摆线与竖直线的夹角a=a0，由式（1）得v2 = g(l x)cos a ，003）代入（2）式，求出2l cos0 = 3( x 一 l )cos a + 2 x04）要求作斜抛运动的摆球击中 C 点，则应满足下列关系式：(l x)sin a = v cosa t ，0 0 05）1(1 x)cos a =v sin a t + gt 20
14、 0 0 26）利用式（5）和式（6）消去t，得到g(1 x)sin 2aV 2 =00 2cos a07）由式（3）、（7）得到cosa =038）代入式（4），求出0 = arccosx(2 + 问ly3219）0 越大， cos 0 越小，X越小，0最大值为兀/2，由此可求得X的最小值:所以10)x = (2、：3 3)t = 0.46413. 参考答案：如图所示，用V表示a转过a角时b球速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，则有bv cosa = v（1）b由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用 力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相 同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相 同，符号相反，做功的总和为0因此在整个过程 中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械 能的增量现用表示此时a球速度的大小，因 a13为a、b角速度相同，Oa = l，Ob = l，所44v =a13 b根据
