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1、（人教版）精品数学教学资料课时提升作业(十一)椭圆方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.B.C.D.-【解析】选B.设直线与椭圆交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,设直线为y=k(x+1)+2,联立得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.所以x1+x2=,所以=-2.解得k=.2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A.3B.2C.2D.4【解析】选C
2、.设椭圆方程为+=1(ab0),联立得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,由=0得a2+3b2-16=0,而b2=a2-4代入得a2+3(a2-4)-16=0解得a2=7,所以a=.所以长轴长为2,选C.【补偿训练】直线l:y=x+a与椭圆+y2=1相切,则a的值为()A.5B.5C.D.【解析】选C.用判别式等于零求解.3.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最小值为()A.1B.-1C.-D.以上都不对【解析】选C.表示椭圆上的点(x,y)与定点(2,0)连线的斜率.不妨设=k,则过定点(2,0)的直线方程为y=k(x-2).由得(k2+4)x2-4k2x+4k
3、2-4=0.令=(-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=0,得k=,所以kmin=-,即的最小值为-.4.已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(ab0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+ a2= a2b2,b2+ a2= a2b2,由-得b2(-)+ a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y
4、1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k=,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.5.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为()A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆
5、x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=2,所以a2+b2b0).因为e=,所以=.由ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.(2014江西高考)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.【解题指南】中点弦问题运用点差法求解.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).则即+=0,因为=-,所以a2=2b2,故c2=a2,即e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点
6、时,求实数m的取值范围.(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程.【解题指南】求m的取值范围,从方程角度看,需将问题转化为关于x的一元二次方程解的判断,而求弦最长时的直线方程,就是将弦长表示成关于m的函数,求出当弦长最大时的m值,从而确定直线方程.【解析】(1)由消去y得,5x2+2mx+m2-1=0,因为直线与椭圆有公共点,所以=4m2-20(m2-1)0,解得-m.(2)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知5x2+2mx+m2-1=0.由根与系数的关系得x1+x2=-m,x1x2=.所以|AB|=.因为=4m2-20(m2-1)0,所以-mb0)的半焦距为c,原
7、点到经过两点,的直线的距离为c.(1)求椭圆的离心率.(2)如图,是圆:+=的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.【解析】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-
8、=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.设F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.因为=0,所以PF1PF2.所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且半径为c=2.又b=2,所以点P为短轴的端点,有2个.2.(2014福建高考)设P,Q分别为圆x2+=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6【解题指南】两动点问题,可以
9、化为一动一静,因此考虑与圆心联系.【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),则=,当y=-1,1时,=5.所以=5+=6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P7F|=.【解题指南】结合椭圆的对称性解题,注意定义的灵活应用.【解析】设椭圆右焦点为F,由椭圆的对称性知,|P1F|=|P7F|,|P2F|=|P6F|,|P3F|=|P5F|,所以原式=(|P7F|+|P7F|)+(|P6F|+|P6F|)+(|P5F|+|P5F
10、|)+(|P4F|+|P4F|)=7a=35.答案:354.(2014辽宁高考)已知椭圆C:+=1,点M与点C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则+=.【解析】根据题意,椭圆的左右焦点为F1(-,0),F2(,0),由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的左顶点M(-3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0,2),则M关于C的焦点的对称点分别为A(-2+3,0),B(2+3,0),而点N(3,4),据两点间的距离公式得+=+=12.答案:12【误区警示】在无法明确相关点的具体情况的时候,可以取特殊情形处理问题.避免对一般情况处理的复杂性.三、解答题(每小
11、题10分,共20分)5.(2015全国卷)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程.(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴, l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【解析】(1)由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4,所以C的方程为+=1.(2)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.xM=,yM=kxM+b=.于是直线OM的斜率kOM=-,即kOMk=-.所以直线OM的斜率与直线
12、l的斜率的乘积为定值.6.(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求的值;(ii)求ABQ面积的最大值.【解题指南】(1)由离心率e和点可求a,b,c.(2)将直线y=kx+m与椭圆E和椭圆C联立消y,再根据二次方程根与系数的关系求解面积的最大值.【解析】(1)因为点在椭圆C上,所以+=1.又因为椭圆C的离心率为e=,所以2c=a,4c2=3a2,结合c2=a2-b2可解得a2=4,b2=1,即椭圆C的方程为+y2=1.(2)(i)椭圆E:+=1.设P(x0,y0)是椭圆C上任意一点,则+4=4.直线OP:y=x与椭圆E:+=1联立消y得x2=16,x2=4,所以Q
