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1、利用均值不等式求最值的方法记住：一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即x2时取等号。所以当x2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例3. 求的值域。解析：本题看
2、似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当x1时取“”号）。当，即时（当且仅当x3时取“”号）。的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨将乘以1，而1用a2b代换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、换元例5. 求函数的最大值。解析：变量代换，令，则当t0时，y0当时，当且仅当，即时取等号。故。评注：本题通过换元法使问题得到了简
3、化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6. 求函数的最大值。解析：注意到的和为定值。又，所以当且仅当，即时取等号。故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。均值不等式求最值“失效”时的对策 利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”在解题的过程中，有时往往出现“凑出了常数却取不到等号”的失效现象，下面浅析此时的应付对策，供同学们参考 一、平衡系数 实施均拆 这
4、是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等例1 求函数的最小值 错解： 剖析：此类错误出现较多，而且错误是不知不觉的，实际是忽视了等号成立的条件，即必须成立，而实际上是不可能的，解决方法可实施均拆法正解：(均拆整式) 上式当且仅当，即时取等号 例2 求函数yx2(x0)的最小值解：(均拆分式) x0，yx2312当且仅当x2，即x2时，等号成立故y的最小值为12例3 若0x，求函数yx2(13x)的最大值解：(均拆幂指数)0x， 13x0yx2(13x)xx(13x) 当且仅当，即x时，等号成立，即y的最小值为二、引入参数 巧渡难关 例4用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的
5、框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 错解：设容器底面短边长，则另一边长为m，并设容积为，则高为 从而 当且仅当，即时，高为1.4 所以，容器的高为1.4m时容积最大，最大容积为 剖析：上式中等号成立的前提是，此时的显然不存在，即此时等号取不到而用均拆法，也似乎无能为力，此时可引入参数，借助待定系数法，从而使问题得以解决当然学了高三导数后，还可利用导数法求最值 正解：（建模过程同前） ，其中是待定的正常数，满足 解得 此时 上式中，当时等号成立，因此当时，取到最大值为1.8，这时高为所以，容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1
6、.8 三、单调处理 简捷迅速 例5 求函数 的最小值 错解： 剖析：本题似乎无懈可击，其实令，则有，即无实数解，也就是等号取不到，因而找不到最小值 正解1：由，令 易证为增函数 所以当，即时，正解2：设，则设g(t)，易得g(t)在t2，)是单调递增且大于0，故f(t)在t2，)也是单调递增 ymax，在t2，即x0时取等号 四、分项拆项 观察等号 对于函数的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号 例6 已知，求函数的最小值解：由，得，则 例7设a0，b0，且ab1，求证(a)(b)的最小值错解1：(a)(b)4，故最小值为4错解2
7、：(a)(b)ab224，故最小值为4剖析：上述错解因为等号成立的条件与ab1不能同时成立，故取不到最小值4本题可利用等号成立的条件来配凑，观察最小值恰好在ab时取到，故可以合理配凑出等号恰好在“ab”取得正解1：(a)(b)ab ab2 22 当且仅当ab时取等号所以 (a)(b)的最小值正解2：(a)(b) (由0ab) 25当且仅当ab时取等号所以 (a)(b)的最小值五、三角代换 有界求解例8 实数m，n，x，y满足m2n2a，x2y2b，且ab，求mxny的最大值错解： mx(m2x2)， ny(n2y2) mxny(m2x2n2y2)(ab)故mxny的最大值为(ab)剖析：在上面
8、的求解过程中，等号成立的条件是ab，而已知ab，故取不到最大值为(ab)但考虑到已知条件的结构可借助三角代换，运用有界性来解决正解：设msin，ncos，xsin，ycos则mxny(sinsincoscos)cos() cos()1，1， mxny的最大值为六、整体代换 减少放缩环节多次运用均值不等式，往往导致等号取不到而用整体代换，可避免多次放缩，从而使问题获解例9 若x，y这正整数，满足1，求 xy的最小值错解：1 16又 xy232故xy的最小值为 32剖析：在求解过程中，利用两次放缩，在16中 y4x时等号成立而在xy2中，xy时等号成立，但这两次等号不能同时成立，故最小值32取不到若采用整体代换，即可避免多次放缩，从而使问题获解正解：xy1(xy)()(xy)20() 20236 xy的最小值为36，当x12，y24时等号成立4
