《清华大学2019年自主招生数学试题(2019.06)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华大学2019年自主招生数学试题(2019.06)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12 2清华大学自主招生数学试题1. 一个四面体棱长分别为 6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.2. 求值： (1 -sin x )x dx-1.3. 已知 P 为单位圆上一动点， A(0,2) ， B (0, -1) ，求 | AP | | BP |2的最大值.4.AB为圆 O 的直径，CO AB，M 为 AC中点，CH MB ，则下列选项正确的是（）A.AM =2OHB.AH =2OHC. BOH BMAD. 忘记5.A =1,2,3, ,15， B =1,2,3,4,5， f是 A到 B的映射，若满足 f ( x ) = f ( y )，则称有序对 ( x, y )为“好对”，求“好
2、对”的个数最小值.6. 若对 c R ， $a, b，使得f ( a ) - f (b) a -b= f ( c )成立，则称函数 f ( x )满足性质 T，下列函数不满足性质 T 的是（ ）A.f ( x) =x3-3 x2+3 xB.f ( x ) =1x2 +1C.f ( x ) =ex +1D.f ( x ) =sin(2 x +1)r r r r7. 已知 | a |=|b |=1 ， a b=12r r r r ur r ur， (c -a )(c -b ) =0 ，若 | d -c |=1 ，求 | d | 的最大值.8. 椭圆x2 y 2+ =16 2，过 F (2,0)的直
3、线交椭圆于 A、 B两点，点 C在直线 x =3上，若 ABC为正三角形，求 ABC的面积.9. 圆 x2+y2=4上一点 ( x , y ) 0 0处的切线交抛物线 y2=8 x于 A、 B两点，且满足AOB =90，其中 O 为坐标原点，求 x0.10. 设 a 为 44444444各位数字和，b 是 a 的各位数字之和，c 为 b 的各位数字之和，求 c 的值.11. 实数 x、 y满足 x 2 +( y -2) 2 1，求x + 3 y x 2 +y 2的最大值和最小值.112. 在三棱柱 ABC -A B C 中，已知 ABC =90，AB =6 ，BC =BB =3 2 ，动点 P
4、 在1 1 1 1线段 B C 上，求 A P +BP 最小值.1 113. 若集合 A、 B是正整数的一个二划分，则（ ）A. 集合 A中不存在三项等差，集合 B中不存在无穷项等差B. 集合 A 中不存在三项等比，集合 B 中不存在无穷项等比 C. 忘了D. 忘了14. 数列 a n满足： a =3 1， an +1=a2n-3a +4n，则（ ）A.a n单调递增B.a n无上界C. 忘了D.limn n 1a -1i =1 i=115. 若正实数 a、 b满足 ab( a +8b ) =20，则 a +3b的最小值为16. 设 f ( x ) =|x -1| +| x -3|， g (
5、x ) =2ex，求 f ( x) +g ( x )最小值.17. 设 x, y N ，则方程1 1 3+ =x y 100的解的个数为18. 令 z =cosk2 k -2 2 k -2p+isin5 5p（ i =1,2,3,4,5），若 a = ( z -z ) i i ji j，则（ ）A.a a a =125 1 3 4B.a a a a a =55 1 2 3 4 5C.a a 22 4=125D.a =5119. 若实数 x 、 y 满足 x3+8 y3+6 xy -1 =0 ，求 x 3y 的范围.21111参考答案1. 设 AB =AC =AD =BC =BD =6，CD =
6、9，易知 BCD 的外接圆 O1半径为 r = 1127，同理可得 ACD的外接圆 O 的半径为 r = 2 2127，设外接圆的圆心为 O ，易知 OO =237，则外接球半径 R =r 22+OO 22=3 144+ =3 37 7，外接球半径为 3 3.2.-1(1-sin 2 x ) x 2 dx = ( x2 dx +x2 cos2 xdx)2 -1 -1，由分部积分法可知：1 1 1x 2 cos2 xdx = x 2 d sin 2 x = ( x 2 sin 2 x - sin 2 xdx 2）= ( x2 sin 2 x - 2 x sin 2 xdx)2 2 21 1= (
7、 x2 sin 2 x + xd cos2 x) = ( x 2 sin 2 x +x cos2 x - cos2 xdx) 2 21 sin 2 x= ( x 2 sin 2 x +x cos2 x - )2 21-1(1-sin2x ) x2dx =1 1 1 1 1 1( + - (sin 2 +2cos2) = - (sin 2 +2cos2) 2 3 3 2 3 4.3. 设 P (cosa,sina)，在 S =|AP | | BP |2= cos2a+(sina-2)2cos2a+(1-sina)21 +sin a 5整理得： S =8 ( ) 2( -sin2 4a)，1 +由
8、三元均值不等式可知： S 8 (354)3=3 3,当且仅当 sina =12时，等号成立，则 | AP | | BP |2的最大值为 3 3 .4. 设圆 O 的半径为 2，易知 BM = 10， BH =810， AM =CM = 2， BC =2 2，在 OBH 与 ABM 中，由余弦定理可知： cos ABM =16 +10 -2 8 10=644 + -OH10322，10解得： OH =25， AM 2OH ，选项 A 错误，在 AHC中，由中线定理可知： AH 2 +16 8= +410 10，解得： AH =45，则 AH =2OH ，选项 B 正确，而BO BH OH 2=
9、= =BM BA MA 10， BOH BMA，选项 C 正确，综上：选 B，C.3r33 13 1 3 + 3maxE25. 情形一：当只对应 B 中 1 个元素时，此时“好对”有15 15 =225对，情形二：当只对应 B 中 2 个元素时，设有 a1，“好对”有 a 2+b 2对，且 a +b =15111 1组 f ( x ) = f ( y )， b1组 f ( x ) = f ( y )，则此时则由柯西不等式可知： a 21+b 21( a +b ) 2 225 1 1 =2 2，情形三：当只对应 B中 3 个元素时，设有 a2组 f ( x ) = f ( y )， b2组 f
10、( x ) = f ( y )， c2组f ( x ) = f ( y )，则此时“好对”有 a22+b 22+c 22对，且 a +b +c =15 2 2 2，则由柯西不等式可知： a 2 +b 2 +c 2 2 2 2( a +b +c ) 22 2 2 =75 3，依次可得：易知当对应 B中 5 个元素时，此时“好对”的最小值为 45，当且仅当 A中每 3个元素对应 B 中一个元素时，等号成立，则“好对”的个数的最小值为 45.6. c R ， $a, b，使得f ( a ) - f (b ) a -b= f ( c ) ，则 f ( x )的值域是 f(x)值域的子集，A选项： f(x) =3 x2-6 x +3 0, +)， f ( x ) R ，满足题意，B 选项： f(x) =-2 x ( x 2 +1)2，令 x =tana1，则 g (a) =- sin 2a(1 +cos22a)，当 sin2a ， cos2a0时，则由四元均值不等式可知：sin22a(1+cos22a) =
