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1、材料力学（土）笔记第九章 压杆稳定1压杆稳定性的概念 当轴向压缩杆件横截面上的正应力不超过材料的许用应力时，强度上保证了杆件的正常工作 而在实际结构中，受压杆件的横截面尺寸一般都较按强度条件算出为大，且其横截面的形状 往往与梁的横截面形状相仿，提高压杆的承载能力，需提高压杆额弯曲刚度 压杆是否变弯，与杆横截面的弯曲刚度有关 压杆在轴向压力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形 对压杆的承载力进行研究时，通常将压杆抽象为由均质材料制成、轴线为直线，且轴向压力 作用线与压杆轴线重合的理想“中心受压直杆”的模型在这一力学模型中，由于不存在使压杆产生弯曲变形的初始因素因此，在轴向压力下就不可
2、能发生弯曲现象 在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后 假想地在杆上施加一微小横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力 实验表明，当轴向力不大时，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡状态 则压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡 当轴向力增大到一定的界限值时，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲平衡状态，而不再恢 复其原有的直线平衡形态，则压杆原来在直线形态下的平衡时不稳定平衡 中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限 值，称为临界压力，或简称临界力，并用 F 表示cr中心受压直杆在临界力F的作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳定性，简称为失稳cr通常说压
3、杆的稳定性及其在临界力F作用下的失稳，是就中心受压直杆的力学模型而言的 cr对于实际的压杆，由于存在前述几种导致压杆受压时弯曲的因素，通常可用偏心受压直杆作 为其力学模型，其平衡稳定性问题是在偏心压力作用下，杆的弯曲变形是否会出现急剧增大 而丧失正常的承载能力，其失稳的概念与中心受压直杆的力学模型截然不同2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆在临界力作用下，处于不稳定平衡的直线状态其材料仍处于理想的线弹性范围内，这类稳定问题成为线弹性稳定问题以两端球形铰支，长度为l的等截面细长中心受压直杆为例中心受压直杆在临界力作用下将在微弯形态下维持平衡，此时压杆任一x截面上的弯矩为M (x)
4、= F wcr压力F取为正值，挠度w以沿y轴正值方向者为正cr将弯矩方程代入公式，可得挠曲线的近似微分方程EI w ” = 一 M (x) = 一 F wcr其中 I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩将上式均除以 EI ，并令cr = k2EI则式子可以改写为二阶常系数线性微分方程w ” + k 2W = 0其通解为w 二 A sin kx + B cos kx 式中，A、 B和k三个待定常数由挠度曲线的边界条件确定由x = 0，w = 0的边界条件，可得B = 01 45由x=，w=5 (5为挠曲线中点的挠度)的边界条件，可得A =2 sin( kl / 2)最后又常数A、B及x = l，w
5、= 0的边界条件，得0 _sin kl _ 25 cos(kl / 2)sin( kl / 2)上式仅在5 _ 0或cos(kl / 2) _ 0时才能成立显然，若5=0，则压杆的轴线并非微弯的挠曲线，欲使压杆在微弯形态下维持平衡，必须cos k = 02即得kl _其最小解为n _ 1时的解，于是(n = 1,3,5,.)kl =/ =兀 EI兀2 EIFcr解得l2上式即两端铰支等截面细长中心受压直杆临界力F的计算公式，通常称为欧拉公式 cr在kl=m的情况下，sin(kl/2) = sin(K /2) = 1，故由常数A、B可知，挠曲线方程为兀xw = o sm l即挠曲线为半波正弦曲线
6、上述求解过程中，挠曲线中点得挠度0是个无法确定的值即不论0为任何微小值，上述平衡条件都能成立事实上这种随遇平衡状态不成立， o 之所以无法确定是因为推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程3.不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式压杆的长度因数 不同杆端约束下细长中心受压直杆的临界力表达式，可通过类似方法来推导各种支撑约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式， C 、D 为挠曲线的拐点支端情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定 但可沿横 向相对移动临界力F厂兀2 EI冗2 EI冗2 EI兀2 EI厂兀2 EIF -F uF F F -E欧拉公式cr12cr(0.71)2cr(
7、0.5l )2cr(2l )2cr 12长度因数卩P - 1p u 0.7p 0.5p 2P - 1由表可以看出，中心受压直杆的临界力F受到杆端约束情况的影响cr杆端越是约强，杆的抗弯能力就越大，其临界力也就越高对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成同一的形式 冗2 EIF cr ( pl )2式中，因数卩称为压杆的长度因数，与杆端的约束情况有关pl 称为原压杆的相当长度其物理意义可从表中各种杆端约束下细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零故可设想拐点处有一铰，而将压杆在挠曲线两拐点渐的一段看作两端铰支压杆利用两端铰支压杆临界力的欧
8、拉公式得到原支承条件下压杆的临界力Fcr这两拐点之间的长度，即为原压杆的相当长度ul即相当长度为各支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度细长压杆临界力的欧拉公式中， I 是横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩若杆端在各个方向的约束情况相同，则 I 应取最小的形心主惯性矩若杆端在不同的方向的约束情况不同，则 I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩4.欧拉公式的应用范围临界应力总图假设材料处于线弹性范围内即压杆在临界力F作用下的应力不得超过材料的比例极限bcr p压杆临界力的欧拉公式有其一定的应用范围 欧拉公式的应用范围当压杆受临界力F作用而在直线平衡形态下维持不稳定平衡时c
9、rF横截面上的压应力可按公式b =计算A于是，各种支承情况下压杆的横截面上的应力为F 兀2 EI兀2 Eb = cr =cr A( M)2 A( M / i)2b 称为临界应力 cri = 4T7a为压杆横截面对中性轴的惯性半径，f为压杆的相当长度cr两者的比值(卩l / i)为一量纲为一的参数，称为压杆的长细比或柔度，记为九其值越大，相应的b就越小，即压杆越容易失稳cry _ Ml人一i则临界力的式子可改写为兀2 Eb =cr y 2欧拉公式仅适用于bb的范围内cr p则欧拉公式的应用范围可表示为兀2 Eb =x的压杆为大柔度压杆，或细长压杆p当压杆的柔度九九时，不能应用欧拉公式，通常称其为
10、小柔度压杆p这一界限值九的大小取决于压杆材料的力学性能p将压杆临界应力b与压杆柔度九间的关系式用曲线表示cr称为欧拉临界应力曲线，实线部分是适用范围内的曲线，虚线部分无意义折减弹性模量理论压杆的临界应力总图中心受压直杆的临界应力的计算与压杆的柔度有关对于大柔度杆，临界应力可按欧拉公式计算对于小柔度杆，临界力的计算有很多，折减弹性模量理论仅是其中之一在不同九范围内，压杆的临界应力与柔度间的关系图线称为压杆的临界应力总图5实际压杆的稳定因数实际压杆可能存在引起截面上的残余应力等的不利因素，将降低压杆的临界应力 压杆的临界应力总是随压杆的柔度而改变柔度越大，临界应力值越低设计压杆时所用的许用应力也随
11、压杆的柔度的增大而减小在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力b 写作材料的强度许用应力b 乘以一个随压杆st柔度九而改变的稳定因数申=申（九），即b二crn bstbbQ= 丁 =cr Q =Q，st n n b st st以反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度改变的这一特点 在稳定因数申=申（九）中，也考虑了压杆的稳定安全因数n随压杆柔度而改变的因素st6.压杆的稳定计算压杆的合理截面FF压杆的稳定条件可表达为=b,通常改写为一 bA申A式中，F为压杆承受的轴向压力；9为压杆的稳定因数；A为压杆的横截面面积稳定计算中不必考虑截面局部削弱的影响，以毛面积进行计算在强度计算中，应按局部局部被削弱的净面积
12、进行计算，b 为压杆材料的许用应力在稳定计算中，若已知压杆的材料、杆长和杆端约束条件，而需选择压杆的截面尺寸时由于压杆的稳定因数9 （或柔度九）受截面形状和大小的影响，通常采用试算法压杆的合理截面，由于压杆的稳定性与其柔度有关，柔度与截面的最小惯性半径i成反比 对于各个方向的杆端约束条件相同的压杆，要求截面对两形心主惯性轴的惯性半径相等 i二i （即I二I），且尽可能增大截面的i值y z y z例如，方形截面压杆比较合理，空心圆截面的压杆比较合理 压杆多采用空心截面或型钢组合截面 对于各个方向的杆端约束条件不同的压杆，为充分发挥材料的作用 要求截面对两形心主惯性轴i值不同，以使两个方向的柔度大致相等，即九九yz
