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1、专题20 幂函数 【知识点梳理】知识点一：幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数例如：等都不是幂函数知识点二：幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，
2、当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴2、作幂函数图象的步骤如下：(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象3、幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即4、幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0
3、和1进行比较常称为“搭桥”法(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小(3)常用的步骤是：构造幂函数；比较底的大小；由单调性确定函数值的大小【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：幂函数的图象的应用题型三：幂函数的单调性题型四：幂函数的奇偶性题型五：幂值大小的比较题型六：定点问题题型七：定义域问题题型八：值域问题题型九：解不等式问题题型十：幂函数综合问题【典例例题】题型一：幂函数的概念例1下列函数为幂函数的是()ABCD【答案】D【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，和的系数不为1，故不是幂函数，故选：D例2下列函数是幂函数的是()ABCD【答案】B
4、【解析】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.故选：B.例3在函数，中，幂函数的个数为()A0B1C2D3【答案】B【解析】幂函数yx，是幂函数，不是幂函数，不是幂函数，不是幂函数，比幂函数的图象多一个点，幂函数的个数为1故选：B.变式1已知幂函数的图像经过点，则的值为()ABCD【答案】B【解析】因为幂函数的图像经过点，所以，所以，故选：B.变式2已知幂函数的图象过点，则等于()AB0CD1【答案】B【解析】因为是幂函数，所以，解得，又因为的图象过点，可得，解得，所以.故选：B.变式3已知幂函数在上是减函数，则n的值为()AB1C3D1或【答案】B【解析
5、】因为函数是幂函数，则，所以或.当时，在上是增函数，不合题意.当时在上是减函数，成立.故选：B.变式4函数是幂函数，且在上单调递增，则 ()ABC或D或【答案】B【解析】由题意可知，解得，.故选：B题型二：幂函数的图象的应用例4如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是()A，B，C，D，【答案】A【解析】由函数是反比例函数，其对应图象为；函数的定义域为，应为图；因为的定义域为且为奇函数，故应为图.故选：A.例5若点在幂函数的图象上，则的图象大致是()A B CD【答案】B【解析】设幂函数，将点代入，得，解得，所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B例6已知幂函数
6、(且互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则()Ap，q均为奇数，且 Bq为偶数，p为奇数，且Cq为奇数，p为偶数，且 Dq为奇数，p为偶数，且【答案】D【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，所以0，因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数，又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，故选：D.变式5已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是()ABCD【答案】C【解析】设，因为的图象经过点，所以，即，解得，则，因为，所以为偶函数，排除B、D，因为的定义域为，排除A因为在内单调递增，结合偶函数可得在内单调递减，故C满足，故选：C.变式6已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图
7、象是()ABCD【答案】C【解析】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，所以，即，解得，即该幂函数的解析式为，其定义域为，为偶函数，且在上为减函数.故选：C题型三：幂函数的单调性例7下列函数中，在区间上为增函数的是()ABCD【答案】B【解析】由于在为单调递减函数，在时无意义，A错误；在为单调递增函数，B正确；定义域为，在无意义，C错误；在为单调递减函数，D错误，故选：B例8下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是()ABCD【答案】D【解析】对于A, 在上为单调递减函数，但不是在定义域内单调递减，故A错误，对于B, ，故为偶函数，故B错误，对于C，的图象为不经过原点的一条直线，故
8、为非奇非偶函数，故C错误，对于D，故为奇函数，且为定义域内的单调递增函数，故为单调递减函数，故D正确，故选：D例9已知幂函数的图象经过点，则在定义域内()A单调递增B单调递减C有最大值D有最小值【答案】B【解析】设，则，所以，即，则函数的定义域为，且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.故选：B.变式7下列函数中，在区间上是增函数的是()ABCD【答案】A【解析】对于A：，所以满足在上是增函数，故选项A正确；对于B：，因为在上是增函数，所以在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，故选项B不正确；对于C：在和上都是增函数，定义域为，不满足在上单调递增，故选项C不正确；对于D：在上单调递减，故选
9、项D不正确；故选：A.变式8函数的单调递减区间为()ABCD【答案】A【解析】，由得，又，所以函数的单调递减区间为.故选：变式9已知函数的增区间为()ABCD【答案】A【解析】先求得函数的定义域，再令，结合的单调性，利用复合函数的单调性求解.由，解得或，因为在递减，在递增，又因为在递增，所以增区间为故选：A变式10幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是()A0B0或2C2D0或1或2【答案】B【解析】由于幂函数是奇函数，且在是减函数，故，且是奇数，且是整数，当时，是奇数，；当时，不是奇数；当时，是奇数；故或2故答选：B变式11已知幂函数的图像过点，则对的表述正确的有()A是奇函数，在上是
10、减函数B是奇函数，在上是增函数C是偶函数，在上是减函数D是偶函数，在上是减函数【答案】C【解析】依题意可设，则，解得，所以，故是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数故选：C.题型四：幂函数的奇偶性例10幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是()A经过第一象限和第三象限B经过第一象限C是奇函数D是偶函数【答案】B【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，定义域为不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数，由知，函数图象经过第一象限.故选：B例11已知幂函数的图像过点，则( )A是奇函数，在上是减函数B是偶函数，在上是减函数C是奇函数，在上是增函数D是偶函数，在上是减函数【答案】
11、C【解析】设幂函数解析式为，因为幂函数的图像过点，解得，则，是奇函数，在上单调递增，故选：C.例12若幂函数的图象关于轴对称，则()A或4BC4D2【答案】C【解析】若幂函数，则，解得或，且幂函数的图象关于轴对称，则为偶数，故.故选：C变式12若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数, 在上单调递减，则()AB或CD或【答案】D【解析】由题意知是偶函数，因为在上单调递减,所以为正偶数，又，解得或故选：D变式13已知常数在上有最大值，若的最小值为，则()A0B3C4D5【答案】C【解析】令，所以，所以为奇函数，因为在上有最大值，所以在上有最大值，所以在上有最小值，即在上有最小值，所以在
12、上有最小值，即，则.故选：C.题型五：幂值大小的比较例13)已知幂函数，对任意的且，满足，若，则的值()A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断【答案】B【解析】已知函数是幂函数，或，或.对任意的且，满足，故是增函数，.若，即，即，即.则，故选：B.例14已知，则下列不等关系中一定成立的是()ABCD【答案】D【解析】对于A选项，取，满足，但是，故A错误，对于BC选项，取，满足，但是，故BC错误，对于D选项，因为函数在R上单调递增，所以由可得，故D正确，故选：D例15已知，则()ABCD【答案】B【解析】由已知，化简，因为幂函数在上单调递增，而，所以.故选：B.变式14设，则()ABCD【答案】
13、D【解析】由题意可知，因为在上是增函数，所以.故选：D.变式15下列比较大小中正确的是()ABCD【答案】C【解析】对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，因为，又，所以，故C正确，对于D选项，在上是递增函数，又，所以，所以，故D错误.故选：C.题型六：定点问题例16当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为_【答案】【解析】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,故答案为：例17已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为_【答案】【解析】令，得，故函数图象过定点，故答案为：例18幂函数的图像恒过定点_【答案】【解析】幂函数的图像恒过定点.故答案为：变式16有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是_幂函数的图像关于原点对称或者关于轴对称；两个幂函数的图像至多有两个交点；图像不经过点的幂函数，一定不关于y轴对称；如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同【答案】【解析】，不关于原
