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1、线段与角的动点问题1如图,射线OM上有三点A、B、C,满足OA20cm,AB60cm,BC10cm(如图所示),点P从点O出发,沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动,点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动(点Q运动到点O时停止运动),两点同时出发(1)当P运动到线段AB上且PA2PB时,点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点,求点Q的运动速度;(2)若点Q运动速度为3cm/秒,经过多长时间P、Q两点相距70cm?【解答】解:(1)P在线段AB上,由PA2PB及AB60,可求得PA40,OP60,故点P运动时间为60秒若CQOC时,CQ30,点Q的运动速度为3060(cm/s);若OQOC,
2、CQ60,点Q的运动速度为60601(cm/s)(2)设运动时间为t秒,则t+3t9070,解得t5或40,点Q运动到O点时停止运动,点Q最多运动30秒,当点Q运动30秒到点O时PQOP30cm,之后点P继续运动40秒,则PQOP70cm,此时t70秒,故经过5秒或70秒两点相距70cm2如图,直线l上依次有三个点O,A,B,OA40cm,OB160cm(1)若点P从点O出发,沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动,点Q从点B出发,沿BO方向匀速运动,两点同时出发若点Q运动速度为1cm/s,则经过t秒后P,Q两点之间的距离为|1605t| cm(用含t的式子表示)若点Q运动到恰好是线段AB的中点
3、位置时,点P恰好满足PA2PB,求点Q的运动速度(2)若两点P,Q分别在线段OA,AB上,分别取OQ和BP的中点M,N,求的值【解答】解:(1)依题意得,PQ|1605t|;故答案是:|1605t|;如图1所示:4t402(1604t),解得 t30,则点Q的运动速度为:2(cm/s);如图2所示:4t402(4t160),解得t7,则点Q的运动速度为:(cm/s);综上所述,点Q的运动速度为2cm/s或cm/s;(2)如图3,两点P,Q分别在线段OA,AB上,分别取OQ和BP的中点M,N,求的值OPxBQy,则MN(160x)(160y)+x(x+y),所以,23如图,射线OM上有三点A、B
4、、C,满足OA60cm,AB60cm,BC10cm(如图所示),点P从点O出发,沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动(1)当点P运动到AB的中点时,所用的时间为90秒(2)若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动,速度为3cm/秒,求经过多长时间P、Q两点相距30cm?【解答】解:(1)当点P运动到AB的中点时,点P运动的路径为60cm+30cm90cm,所以点P运动的时间90(秒);故答案为90;(2)当点P和点Q在相遇前,t+30+3t60+60+10,解得t25(秒),当点P和点Q在相遇后,t+3t3060+60+10,解得t40(秒),答:经过25秒或40秒时,P、Q两点
5、相距30cm4如图,在数轴上点A表示的数是3,点B在点A的右侧,且到点A的距离是18;点C在点A与点B之间,且到点B的距离是到点A距离的2倍(1)点B表示的数是15;点C表示的数是3;(2)若点P从点A出发,沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动;同时,点Q从点B出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动设运动时间为t秒,在运动过程中,当t为何值时,点P与点Q之间的距离为6?(3)在(2)的条件下,若点P与点C之间的距离表示为PC,点Q与点B之间的距离表示为QB,在运动过程中,是否存在某一时刻使得PC+QB4?若存在,请求出此时点P表示的数;若不存在,请说明理由【解答】解:(1)点B
6、表示的数是3+1815;点C表示的数是3+183故答案为:15,3;(2)点P与点Q相遇前,4t+2t186,解得t2;点P与点Q相遇后,4t+2t18+6,解得t4;(3)假设存在,当点P在点C左侧时,PC64t,QB2t,PC+QB4,64t+2t4,解得t1此时点P表示的数是1;当点P在点C右侧时,PC4t6,QB2t,PC+QB4,4t6+2t4,解得t此时点P表示的数是综上所述,在运动过程中存在PC+QB4,此时点P表示的数为1或5将一副三角板放在同一平面内,使直角顶点重合于点O(1)如图,若AOB155,求AOD、BOC、DOC的度数(2)如图,你发现AOD与BOC的大小有何关系?
7、AOB与DOC有何关系?直接写出你发现的结论(3)如图,当AOC与BOD没有重合部分时,(2)中你发现的结论是否还仍然成立,请说明理由【解答】解:(1)AODBOC1559065,DOCBODBOC906525;(2)AODBOC,AOB+DOC180;(3)AOB+COD+AOC+BOD360,AOCBOD90,AOB+DOC1806以直线AB上点O为端点作射线OC,使BOC60,将直角DOE的直角顶点放在点O处(1)如图1,若直角DOE的边OD放在射线OB上,则COE30;(2)如图2,将直角DOE绕点O按逆时针方向转动,使得OE平分AOC,说明OD所在射线是BOC的平分线;(3)如图3,
8、将直角DOE绕点O按逆时针方向转动,使得CODAOE求BOD的度数【解答】解:(1)BOECOE+COB90,又COB60,COE30,故答案为:30;(2)OE平分AOC,COEAOECOA,EOD90,AOE+DOB90,COE+COD90,CODDOB,OD所在射线是BOC的平分线;(3)设CODx,则AOE5x,DOE90,BOC60,6x30或5x+90x120x5或7.5,即COD5或7.5BOD65或52.57如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使BOC130,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方(1)将图1中的三角板绕
9、点O逆时针旋转至图2,使一边OM在BOC的内部,且恰好平分BOC,问:此时直线ON是否平分AOC?请直接写出结论:直线ON平分(平分或不平分)AOC(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角AOC,则t的值为13或49(直接写出结果)(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转,请探究:当ON始终在AOC的内部时(如图3),AOM与NOC的差是否发生变化?若不变,请求出这个差值;若变化,请举例说明【解答】解:(1)平分,理由:延长NO到D,MON90MOD90MOB+NOB90,MOC+COD90,MOBMOC,NOBCOD,NOB
10、AOD,CODAOD,直线NO平分AOC;(2)分两种情况:如图2,BOC130AOC50,当直线ON恰好平分锐角AOC时,AODCOD25,BON25,BOM65,即逆时针旋转的角度为65,由题意得,5t65解得t13(s);如图3,当NO平分AOC时,NOA25,AOM65,即逆时针旋转的角度为:180+65245,由题意得,5t245,解得t49(s),综上所述,t13s或49s时,直线ON恰好平分锐角AOC;(3)AOMNOC40, 理由:AOM90AONNOC50AON,AOMNOC(90AON)(50AON)409已知AOC40,BOD30,AOC和BOD均可绕点O进行旋转,点M,
11、O,N在同一条直线上,OP是COD的平分线(1)如图1,当点A与点M重合,点B与点N重合,且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时,求BOP的余角的度数;(2)在(1)的基础上,若BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转,转速为5/s,同时AOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转,转速为3/s,如图2所示,当旋转6s时,求DOP的度数【解答】解:(1)AOC40,BOD30,COD1804030110,OP是COD的平分线,DOPCOD55,BOP85,BOP的余角的度数为5;(2)DOP的度数为49,旋转6s时,MOA3618,NOB5630,COM22,DON60,COD180COMDON98,
12、OP是COD的平分线,DOPCOD4910如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,将一直角三角形的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在BOC的内部,且恰好平分BOC,问:直线ON是否平分AOC?请说明理由;(2)若BOC120将图1中的三角板绕点O按每秒6的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角AOC,则t的值为10或40(直接写出结果);(3)在(2)的条件下,将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在AOC的内部,请探究:AOM与NOC之间的数量关系,并
13、说明理由【解答】解:(1)直线ON平分AOC理由如下:第1页设ON的反向延长线为OD,OM平分BOC,MOCMOB,又OMON,MODMON90,CODBON,又AODBON,CODAOD,OD平分AOC,即直线ON平分AOC(2)BOC120AOC60,BONCOD30,即旋转60时ON平分AOC,由题意得,6t60或240,t10或40;(3)MON90,AOC60,AOM90AON、NOC60AON,AOMNOC(90AON)(60AON)30即AOMNOC+3011如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使AOC:BOC2:1,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM在直线AB的下方(1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置,使得OM落在射线OA上,此时ON旋转的角度为90;(2)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置,使得OM在BOC的内部,则BO