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1、线段与角的动点问题1如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA20cm，AB60cm，BC10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发（1）当P运动到线段AB上且PA2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点，求点Q的运动速度；（2）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm？【解答】解：（1）P在线段AB上，由PA2PB及AB60，可求得PA40，OP60，故点P运动时间为60秒若CQOC时，CQ30，点Q的运动速度为3060（cm/s）；若OQOC，
2、CQ60，点Q的运动速度为60601（cm/s）（2）设运动时间为t秒，则t+3t9070，解得t5或40，点Q运动到O点时停止运动，点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQOP30cm，之后点P继续运动40秒，则PQOP70cm，此时t70秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm2如图，直线l上依次有三个点O，A，B，OA40cm，OB160cm（1）若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动，两点同时出发若点Q运动速度为1cm/s，则经过t秒后P，Q两点之间的距离为|1605t| cm（用含t的式子表示）若点Q运动到恰好是线段AB的中点
3、位置时，点P恰好满足PA2PB，求点Q的运动速度（2）若两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M，N，求的值【解答】解：（1）依题意得，PQ|1605t|；故答案是：|1605t|；如图1所示：4t402（1604t），解得 t30，则点Q的运动速度为：2（cm/s）；如图2所示：4t402（4t160），解得t7，则点Q的运动速度为：（cm/s）；综上所述，点Q的运动速度为2cm/s或cm/s；（2）如图3，两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M，N，求的值OPxBQy，则MN（160x）（160y）+x（x+y），所以，23如图，射线OM上有三点A、B
4、、C，满足OA60cm，AB60cm，BC10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动（1）当点P运动到AB的中点时，所用的时间为90秒（2）若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q两点相距30cm？【解答】解：（1）当点P运动到AB的中点时，点P运动的路径为60cm+30cm90cm，所以点P运动的时间90（秒）；故答案为90；（2）当点P和点Q在相遇前，t+30+3t60+60+10，解得t25（秒），当点P和点Q在相遇后，t+3t3060+60+10，解得t40（秒），答：经过25秒或40秒时，P、Q两点
5、相距30cm4如图，在数轴上点A表示的数是3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍（1）点B表示的数是15；点C表示的数是3；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）点B
6、表示的数是3+1815；点C表示的数是3+183故答案为：15，3；（2）点P与点Q相遇前，4t+2t186，解得t2；点P与点Q相遇后，4t+2t18+6，解得t4；（3）假设存在，当点P在点C左侧时，PC64t，QB2t，PC+QB4，64t+2t4，解得t1此时点P表示的数是1；当点P在点C右侧时，PC4t6，QB2t，PC+QB4，4t6+2t4，解得t此时点P表示的数是综上所述，在运动过程中存在PC+QB4，此时点P表示的数为1或5将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O（1）如图，若AOB155，求AOD、BOC、DOC的度数（2）如图，你发现AOD与BOC的大小有何关系？
7、AOB与DOC有何关系？直接写出你发现的结论（3）如图，当AOC与BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由【解答】解：（1）AODBOC1559065，DOCBODBOC906525；（2）AODBOC，AOB+DOC180；（3）AOB+COD+AOC+BOD360，AOCBOD90，AOB+DOC1806以直线AB上点O为端点作射线OC，使BOC60，将直角DOE的直角顶点放在点O处（1）如图1，若直角DOE的边OD放在射线OB上，则COE30；（2）如图2，将直角DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分AOC，说明OD所在射线是BOC的平分线；（3）如图3，
8、将直角DOE绕点O按逆时针方向转动，使得CODAOE求BOD的度数【解答】解：（1）BOECOE+COB90，又COB60，COE30，故答案为：30；（2）OE平分AOC，COEAOECOA，EOD90，AOE+DOB90，COE+COD90，CODDOB，OD所在射线是BOC的平分线；（3）设CODx，则AOE5x，DOE90，BOC60，6x30或5x+90x120x5或7.5，即COD5或7.5BOD65或52.57如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使BOC130，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方（1）将图1中的三角板绕
9、点O逆时针旋转至图2，使一边OM在BOC的内部，且恰好平分BOC，问：此时直线ON是否平分AOC？请直接写出结论：直线ON平分（平分或不平分）AOC（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOC，则t的值为13或49（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究：当ON始终在AOC的内部时（如图3），AOM与NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D，MON90MOD90MOB+NOB90，MOC+COD90，MOBMOC，NOBCOD，NOB
10、AOD，CODAOD，直线NO平分AOC；（2）分两种情况：如图2，BOC130AOC50，当直线ON恰好平分锐角AOC时，AODCOD25，BON25，BOM65，即逆时针旋转的角度为65，由题意得，5t65解得t13（s）；如图3，当NO平分AOC时，NOA25，AOM65，即逆时针旋转的角度为：180+65245，由题意得，5t245，解得t49（s），综上所述，t13s或49s时，直线ON恰好平分锐角AOC；（3）AOMNOC40， 理由：AOM90AONNOC50AON，AOMNOC（90AON）（50AON）409已知AOC40，BOD30，AOC和BOD均可绕点O进行旋转，点M，
11、O，N在同一条直线上，OP是COD的平分线（1）如图1，当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求BOP的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为5/s，同时AOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3/s，如图2所示，当旋转6s时，求DOP的度数【解答】解：（1）AOC40，BOD30，COD1804030110，OP是COD的平分线，DOPCOD55，BOP85，BOP的余角的度数为5；（2）DOP的度数为49，旋转6s时，MOA3618，NOB5630，COM22，DON60，COD180COMDON98，
12、OP是COD的平分线，DOPCOD4910如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在BOC的内部，且恰好平分BOC，问：直线ON是否平分AOC？请说明理由；（2）若BOC120将图1中的三角板绕点O按每秒6的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOC，则t的值为10或40（直接写出结果）；（3）在（2）的条件下，将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在AOC的内部，请探究：AOM与NOC之间的数量关系，并
13、说明理由【解答】解：（1）直线ON平分AOC理由如下：第1页设ON的反向延长线为OD，OM平分BOC，MOCMOB，又OMON，MODMON90，CODBON，又AODBON，CODAOD，OD平分AOC，即直线ON平分AOC（2）BOC120AOC60，BONCOD30，即旋转60时ON平分AOC，由题意得，6t60或240，t10或40；（3）MON90，AOC60，AOM90AON、NOC60AON，AOMNOC（90AON）（60AON）30即AOMNOC+3011如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使AOC：BOC2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为90；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在BOC的内部，则BO
