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1、倾斜椭圆柱管中流体的 P oi seuil le 公式【摘要】 应用 Newton 粘滞力定律和 Bernoulli 方程推导倾斜椭圆柱管中 流体的 Poiseuille 公式。【关键词】 Poiseuille 定律 Newton 粘滞力定律 Bernoulli 方程The Fluid Poiseuille , s for Rmula in Elliptic Cylindrical ofInclinationKey words the poiseuille s formula; newtonlaw; bernoulli s equation一般文献都只讲述水平圆管流体的 Poiseuille
2、定律，但实际应用中，不仅 研究圆柱管且水平置放的情况，而且也会出现非圆柱管和非水平的情况。本研 究推证倾斜椭圆柱管中流体的 Poiseuille 定律的公式。0 公式的推导设流体在倾斜椭圆柱管中作稳定层流，如图 1 所示。椭圆柱管截面方程为： X 2a2+y2b2=l(l)在广义柱坐标下 x=ar cos(p y=br sincp (Ovrvb, 0(p 2tt) (2)易算得椭圆环 n+dr 的面积：ds=a coscp _ar sin(p b sin(p br costp dr HJF (Z2 2tt Odcp HJF) 3=2tt brdr(3)由 Bernoulli 方程 12p V2
3、+p+p hg=C(4)可知，因为是稳定流动 V L=),第一项为零。第二项是流体的合压强，在 此， 其一是作用在椭圆环 r-r+dr 上的合压力， 为： F= (pl_p2)ds=2n ab(pl- p2)rdr (5)其二是流体的粘滞力，为：df=-r) IdsdV (r) dn (6)式(6)中，ds为椭圆柱流管的侧面积元，在广义柱坐标下，其值为.ds=l+dydx2dx=a2 sin2(p +b2 cos2cp rdcp (7)式(6)中， dV(r)dn 为速度梯度，在广义柱坐标下，其值为 :dV (r) dnr=-1A V (r) | = V (r) x i+ V (r) y jr
4、=aba2 sin2cp+b2 cos2(p ( cos2(p a2+ sin2(p b2) dV (r) drr (8)将式(7)和式(8)代入式(6)，算得粘滞力为：df=-r) lab( cos2cp a2+ sin2(p b2) dV(r)drrdcp (9)积分式(9),算得椭圆柱流层r-r+dr的内侧面的粘滞力为.f内=- r) ablr dV (r) drr HJF(Z2 2tt0( cos2tp a2+ sin2cp b2) dcp HJF) 3 = TTr) Ia2+b2ab r dV (r) drr (10)在式(10)中作变量置换r r+dr,即得流层r_r+dr外侧面的
5、粘滞力为： f 外=-TT I) 1 a2+b2ab (r+dr) dV (r) drr+dr (11)再将式(11)与式(10)相减,注意 df(x)=f,(x)dx, rdV(r)drr 是原函 数，(r+dr) dV(r) drr+dr是自变量为r+dr时函数，于是得：f内-f外 =TT r) Ia2+b2ab r (r+dr) dV(r) drr+dr-r dV(r) drr=TT r| Ia2+b2ab d r dV(r)dr(12)式(4)中第三项是椭圆管倾斜，流体作用在椭圆环r-r+dr上的重力，为: Fl=p g(hlh2) ds=2TT abp g(hl_h2)rdr (13
6、)将式(5)、式(12)和式(13)代如式(4)中，移项整理，有：d r dV(r)dr=-2a2b2 (pl-p2)+p g(hl_h2) q 1 (a2+b2) rdr(14) 积分式(14)一 次，有.r dV (r) dr=-a2b2 (pl-p2) +p g(hl_h2) r| 1 (a2+b2) r2+Cl (15)代入速度梯度在轴线上为零的条件，即clV(r)clrr 0=0，知C1=0。将式 (15)再积分一次，有: V (r)=-a2b2 (pl-p2)+p g(hl_h2)2t 1 (a2+b2) r2+C2(16)代入流速V (r)在管壁处为零的边界条件，即V (r) r
7、=l=0,有： C2=a2b2 (pl-p2) +p g(hl_h2) 2r 1 (a2+b2) (17)将式(17)代入式(16)，最后得流速公式为：V (r)=a2b2 (pl_ p2)+p g(hl-h2) 2n 1 (a2+b2) (l-r2) (18)将式(18)代入流量计算公式， 有： Q=ab (s) V(r) rdrdcp =a3b3 (pi- p2)+p g(hl-h2) 2n 1 (a2+b2) HJF(Z2 10(l-r2)rdr HJF) 3 HJF(Z3 2tt 0d(p HJF)3 =TT a3b3 (pl-p2) +p g(hl_h2) 4q 1(a2+b2)(1
8、9)上式就是所求的倾斜椭圆柱管中流体的 Poiseuille 定律的公式。2 讨论Q=TT (pl-p2) +p g(hlh2) 8ri 1 a4 (20)式中a为圆柱管的半径。这与文献1的公式(6)-致。2.2当楠圆柱管水平放置时，即hl=h2，则式(19)为：Q=TT (pl-p2)4n 1 ( a3b3a2+b2) (21)这与文献2的公式(19) 一致。2.3当倾斜椭圆柱管为圆柱管且水平放置时，即a=b, hl=h2，则式(19) 为：Q=TT (pl-p2)8n 1 a4(22)这与文献3的公式( 5-6) 致。2.4设椭圆柱管竖直放置时，这时h2-hl=l, pl-p20,则式(1
9、9)为：Q=tt a3b3p g4n ( a2+b2) (23)再设已知液体的密度为 P 0 ,粘滞系数为 n 0,滴定时间为 t o ，而被测液 体的密度为P,粘滞系数为n，滴定时间为t，于是由式(23)分别得到已知 液体的流量V0和被测液体的流量分别为：V0=tt g a3b34 ( a2+b2) p OtOq 0, V=TT g a3b34 ( a2+b2) p tq (24)式(24)中的两式相除有：r| =p tp 0t0r| 0(25)这正是用奥氏或乌氏粘度计测定液体粘滞系数的公式。这告知，被测粘滞 系数的实验中，用什么形状的截面管都不影响实际结果。【参考文献】1 秦任甲.泊肃叶公式在非水平管中的形式及其在粘滞系数测定中的应用 大学物理， 1983， (12)： 13.2王礼祥.椭圆柱管流体的泊肃叶公式的两种简明推导 .大学物理， 1997， (2) ： 1417.3刘普和，等主编.医学物理学.第1版.四川：人民卫生出版社， 1980，98100.
