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1、向量的概念与性质知识点1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量rfc-可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小记号“ a b ”错了，而| a | b |才有意义.有些向量与起点有关，有些向量与起点无关由于一切向量有其共性（力和方向），故 我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向 量相等的必要条件.r r单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（x, y ），其中X、y满足x2 + y2 =1（可 用（cos。，si
2、n0 ） （OW W2 n）表示）.零向量0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的 实数.有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段 2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量（平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首 尾相连）b- rw fe-to- rfc- fe-当两个向量a和b不共线时，a + b的方向与a、b都不相同，且| a + b |v| a | +|b |；P* F*F当两个向量a和b共线且同向时，a + b、a、b的方向都相同，且I a + b 1= I a I + I b I ；当向量a和b反向时，若| a | b |，a
3、 + b与a方向相同，且| a + b | = | a |-| b | ；若| a |v| b |时，a + b 与 b 方向相同，且 | a + b | = | b |-| a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则: 起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量AB + BC + CD + DA二 0.(ABCD 中)判定两向量共线的注意事项 !_ fc-如果两个非零向量a , b，使a二入b (入gr),那么a b ；反之，如a b，且b HO,那么a =f这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因
4、为a=O时，与入b的方向规定为平 行.(4) 向量的数乘运算的定义：数乘运算模的大小为：= |申(5) 当九0,九a与a的方向相同；当九 0,九a的方向与a的方向相反；当九=0, Xa = Q(6) 数量积的8个重要性质(a -丄lal - b cos0 ) 两向量的夹角为OQ Wn.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一 向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. f 设a、b都是非零向量，e是单位向量，0是a与b的夹角，贝廿e = I a I - cos0| e I = 1)( 0 =90，cos0 = 0) 在实数运算中ab =0o a =0或
5、b=0.而在向量运算中a - b = 0 o a = 0或b = 0是错误b- b ft b-is- *的，故a = 0或b = 0是a - b =0的充分而不必要条件. 当a与b同向时a -b = I a I -1 b I (0 =0,cos 0 =1);当 a 与 b 反向时，a - b二-1 a I -1 b I (0 二 n ,cos 0 =-1)，即a b的另一个充要条件是1fcI a - b I= I a I -1 b I.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x , y ),( x , y )，则11 2 2I a I = (x - x )2 + (y - y )2v
6、 1 2 1 2 I a - b I I a I 丨 b I。(因 |cos0 | -*KF*F-I-k12. 已知l a l= 4,l bl= 3,a,b 的夹角为120，且c= a + 2b ,d= 2a + kb，当 c 丄 a 时,k=.向量的坐标形式一知识点若 a = (x , y ), b = (x , y )1 1 2 2贝H a + b = 特别地：a - b = 若 a / b，贝 U 九a = 若a丄b，贝H a - b =a = cos0 =A(x, y ), B(x , y ), AB =1 1 2 2二课堂训练1. 已知 AB = (2,3), BC = (x, y)
7、, CD = (-1,4),则DA =2. 设 A(1,-3)和B(8,-1),若点C(2a - 1,a + 2)在直线AB上，贝怙=3. 设点 A(2,3), B(5,4), C(7,10),点P满足AP = AB + 九AC(九 e R)(1) 当九二时，点P在第一、三象限角平分线上；(2) 当九e时，点P在第四象限.4. 已知向量a = (1,1),b = (1- 6. 已知向量a = (-3,1),b = (1,-2),若(-2a + b)丄(a + kb),则实数k = 7. 已知向量a = (1,2),b = (x,1),u = a + 2b,v = 2a -b，根据下列情形求x
8、: (1)若u/v(2)若u 丄 v .8. 已知向量 a = (1,2), b = (x,1),若a + 2b与2a - b平行，则x =9. 设向量a二(-3,4),向量b满足b/a, |b卜1,贝Ijb = 10. 在 AABC中，已知AB = (-1,2), AC = (2,1)，则 AABC 的面积为11. 平面内给定三个向量 a = (3,2), b = (1,2), c = (4,1).(1)求 3a + b 一 2c ；2)3)求满足a = mb + nc的实数m,n ；求实数k ；若 C + kc )/(2b - a),4)d 一 c-c )/ C +=1,求 d12. 设向
9、量a = e e ,b = 4e + 3e ,其中e = (1,0),e = (0,1).1 2 1 2 1 2(1) 试计算a - b及 |a + b的值；(2) 求向量a与b夹角的大小. 单元测试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40 分)1、若向量方程2 x - 3( x - 2 a) = 0,则向量x等于A、5aB、6aC、6aD、- aJffffJ2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是A、 a 与 b 为平行向量B、a与b为模相等的向量C、a与b为共线向量D、a与b为相等的向量3、AB + BC
10、 AD =A、 Ad B、 CDC、DBD、DC4、下列各组的两个向量，平行的是A、0= (2,3)，b = (4,6)B、(1,2)，b = (7,14)C、 a = (2,3) ， b = (3,2)D、 a=(3,2)， b=(6,4)5、若P分AB所成的比为-，则A分BP所成的比为A、 B、C、D、6、已知 a = (6,0),b = (5,5)，则a与b的夹角为A、 45 0B、 60 0C、 135 0D、120 07、已知i， j都是单位向量，则下列结论正确的是A、8、如图，在四边形ABCD中，BC = c，则DC =A、ab + cB、b 一 (a + c)设 AB = a，C、a + b + cD、9、A、B、2D、10
