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1、习题四解答1、设x = 0,x = 1,写出f (x) = e-x的一次插值多项式L (x)，并估计插值误差。 0 1 1解：根据已知条件,有x01y1e -1设插值函数为L (x)二ax + b，由插值条件，建立线性方程组为1a x 0 + b = 1a x1 + b = e-i解之得b=:-1 则 L (x) = (e-1 - 1)x +11因为 yr(x) = -e-x, y(x) = e-x所以，插值余项为r (x) = f (x) - p( x) =1=2 f (g )兀(x)=1 f (g)(x - x )(x - x )2! 0 1=2 e-g(x - 0)(x -1)(ge (
2、0,1)所以|r (x )| max e-g2 0g1max |x( x -1)|0 x11 11=xe-0 x=2 482、给定函数表xi-0.10.30.71.1f (x)i0.9950.9950.7650.454选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。解：设三次插值多项式为f (x) = a + a x + a x2 + a x3，由插值条件，建立方程组 0123为a + a x (-0.1)+ a x (-0.1)2 + a x (-0.1)3 = 0.9950123a + a x 0.3 + a x 0.32 + a x 0.33 = 0.995 0123a +
3、 a x 0.7 + a x 0.72 + a x 0.73 = 0.7650123a + a x1.1 + a x 1.12 + a x 1.13 = 0.4540123a 0.1a + 0.01a 0.001a = 0.995 a 0.1a + 0.01a 0.001a01230a + 0.3a + 0.09a + 0.027a = 0.995v 0123S va + 0.7 a + 0.49a + 0.343a = 0.7650123a + 1.1a + 1.21a + 1.331a = 0.4540123a 0.1a + 0.01a 0.001a = 0.99501230.4a + 0
4、.08a + 0.028a = 0 v1230.32a + 0.288a = 1.76230.384a =3.83131230.4a + 0.08a + 0.028a1230.8a + 0.48a + 0.344a1230.4a + 0.72a + 0.988a1230.995=0=1.76= 0.311解之得a = 0.410a = 6.29 v1a = 3.482a = 9.983则所求的三次多项式为f (x) = 0.41 6.29x 3.48x2 + 9.98x3。所以f (0.2) = 0.41 6.29 x 0.2 3.48 x 0.22 + 9.98 x 0.23 = 0.91f
5、 (0.8) = 0.41 6.29 x 0.8 3.48 x 0.82 + 9.98 x 0.83 = 1.743、设x (i = 0丄2,n)是n+1个互异节点，证明:i(1) 区 xkl (x) = xk (k = 0,1,2,n)；i ii=0(2) 区(x x)kl (x) = 0(k = 0,1,2,n)。iii=0证明：(1)由拉格朗日插值定理，以x,x,x,x为插值节点, 012 n作n次插值，插值多项式为对 y=f(x)=xkp (x)=区 l (x) y ,ni ii=0而 y =x k,ii所以 p ( x) =1 (x) y =1 (x) xkni ii ii =0i
6、=0同时，插值余项r( x) = xk p (x) = n1(n +1)!f (n+1)(g )兀(x)=1(n +1)!(xk)(n+1)兀(x) = 0所以 l ( x ) xk = xkiii=0结论得证。(2)取函数 f (x) = (x t) k, k = 0,1,2,n对此函数取节点x (i = 0,1,2,n)，则对应的插值多项式为p (x) = (x 一 t)kl (x), n i i i=0 由余项公式，得r (x) = (x 一 t)k 一工(x 一 t)kl (x)=iii=0所以1(n +1)!f (n+1) (g )兀(x)=1(n +1)!(x 一 t)k(n+1)
7、兀(x) = 0(x 一 t)k =工(x 一 t)kl (x)iii=0令 t=x，工(x 一 x)kl (x) = 0iii =0一4、给定数据(f (x) =、：x )p(x) =1.48320 +1.54919 -1.483202.4 - 2.2(x 一 2.2)x2.02.12.22.4f(x)1.4142141.4491381.483201.54919(1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；(2)试用二次Newton插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。解：用线性插值计算f(2.3)，取插值节点为2.2和2.4，则相应的线性插值多项式=1.48320 +
8、 0.32995( x 一 2.2)用 x=2.3 代入，得f (2.3) q 1.48320 + 0.32995 x (2.3 - 2.2) = 1.450205(2) 作差商表如下xf(x)一阶差商二阶差商二阶差商2.01.4142140.35012.11.449138-0.0470.34074.10752.21.483201.5960.65992.41.54919根据定理 2，f(x)=f(x0)+fx0, x1(x-x0)+fx0，X，x2(x-x0)(x-x1)+ +fx0，X，,xn(x-x0)(x-x1)(x-xn_l)+fx0，X，xn， x n (x)。以表中的上方一斜行中的
9、数为系数，得f(2.15) = 1.41421+ 0.3501 X (2.15-2.0) 0.047 X (2.15-2.0) X (2.15-2.1)= 1.663725指出：误差未讨论。xf(x)一阶差商001611630246214888850一阶差商二阶差商四阶差商7537251095、给定函数表x01245y01646880试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式和插值余项。 解：作差商表如下根据定理2,以表中的上方一斜行中的数为系数，得p( x) = 0 +16 x + 7 x( x -1) - 5 x( x - l)(x - 2) - - x( x - l)(x - 2)( x - 4
10、)。26指出：余项未讨论。5*、给定函数表x01234y01646880试求各阶差分，并求等距节点插值。 解：由已知条件，显然， x0=0， h=1， x=t。 作差分如下xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分00161161430224612 14042 1424888850 130根据等距节点插值公式,p (x + th)二 p (t)二 0 +1X16 +X14 +匸匹2) X(2) +1 匸 1)( 2)( 3) x(一血)n 0n2!3!4!二 16t + 7t(t -1)-1 1)(t 2) - 351(t - 1)(t - 2)(t - 3)6指出:在本题这种情况下,实际上p
11、 (t)二p (x)，也就是说，在这样的条件下,t的多项式就nn是 x 的多项式，可以直接转换。般情况下，把t的关系转换为x的关系需要根据x=x0+th，将t用x表示，即 将t = 平代入得到的多项式。h6、给定数据表x0.1250.2500.3750.5000.6250.750f(x)0.796180.773340.743710.704130.656320.60228试用三次牛顿差分插值公式计算f (0.1581)及f(0.636)。解：所给节点是等距结点：x - 0.125, h = 0.125, x = x + ih, i = 0,1,2,3,4,5。0i 0计算差分得xf(x)一阶差分
12、二阶差分三阶差分四阶差分五阶差分0. 1250. 79618-0.022840. 2500. 77334-0.00679-0.02963-0.003160. 3750. 74371-0.009950.00488-0.039580.00172-0.004600. 5000. 70413-0.008230.00028-0.047810.002000. 6250. 65632-0.00623-0.054040. 7500. 60228令x = xo +th(t =干)，根据等距结点插值公式得p (x + th)二 p (t)二 0.79618 +1X (-0.02284) +x (-0.00679)n 0 n 2!+1(t 1)(t 2) x (-0.00316) +1(t 1)(t 2)(t 3) x 0.00488 +匕1)(t 叱叱4) x (-0.00460) 3!4!5!则f (0.1581)沁 p (0.1581)二 p (0.125 + 0.2648h)二 0.790294822, n n 。f (0.636)p (0.6363)二 p (0.125 + 4.088h)二 0.6
