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1、2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准一. 选择题1. C 2. C 3. D 4. B 5. C 6. B二. 填空题7. 8. n 9. 10. 11. 12. 详细解答如下：一. 选择题1.下列三数的大小关系正确的是（ C ）（A） （B）（C） （D）解： 因为 ，。令，则。又因为，所以 。再令，则，而，所以 。综上所述，有 。 因此 选 （C）。2. 已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（ C ）条。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解: 由分别以A，B为圆心，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。
2、3. 设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，则（ D ） (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.解： 将记做，于是有从16开始，是周期为8的周期数列。故 正确答案为D。4. 设在平面上，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为（ B ）。 (A) (B) (C) (B) .解： 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A。因此的图形面积为。 所以选（B）。5. 在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（
3、 C ）。 (A) 2006 (B) (C) (D) .解： 正2n边形，对角线共有 条。计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C。6. 函数在时的最小值为（ B ）。 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8解： （由调和平均值不等式） 要使上式等号成立，当且仅当（1）（2）得到，即得。因为，所以当时，。所以 因此应选（B）。二. 填空题7. 手表的表面在一平面上。整点1，2，12这12个数字等
4、间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点（i1）的向量记作，则 。解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为 。 则。共有12个相等项。所以求得数量积之和为 。8. 设且 则对任意， n 。解：，所以，9 在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。解： 三个数成递增等差数列，设为 ，按题意必须满足 。 对于给定的d，a可以取1，2，2006-2d。 故三数成递增等差数列的个数为 三数成递增等差数列的概率为 。10. 设是非零实数，若则。解： 已知 （1）将（1）改写成 。而 。所以有 。即, 也即 将该值记为C
5、。则由（1）知，。于是有，. 而。11. 已知 , 。若为单元素集，则。解 由为单元素集，即直线与相切，则.12. = 。解：设，则 ，,，即有，。所以有 . 于是可得 ，且当时，. 因此 .解答题13. 在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求（1）动圆的圆心轨迹方程L;（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。解：（1）由可得由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为, 则有整理得到动圆圆心轨迹方程 。 （5分）另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程，即（5分）（2）联立方程组 消去得 ，由
6、整理得 从可知 。 故令，代入可得 再令，代入上式得 （10分）同理可得，。可令代入可得 对进行配方，得 对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以。令，则 。所以 （15分）仅当时，为完全平方数。于是解得 。 （20分）14.已知数列满足，满足 ，证明： 。证明：记 ，则 。而。 （5分）因为，所以。 （10分）从而有 。 （1）又因为，所以，即。从而有 。 （2） （15分）由（1）和（2）即得 。 综合得到 。左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 （20分） 15. 六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问1） 共有多少种不同的骰子；2） 骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V。在所有的骰子中，求V的最大值和最小值。解：1）设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共64种。所以不同的骰子共有种。 （5分）2） 由16的六个数字所能产生的变差共有15个，其总和为1（12）（123）（1234）（123+4+5）=35 （10分）与之相比，每个骰子的全变差中，所缺的是三个相对面上数字之间的变差，记其总和为v，则vmax（6+5+4） (1+2+3) 9vmin 1+1+1 3 （15分）因此 Vmax35vmin32 Vmin35vmax26. （20分）- 4 -
