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1、（第5题图）高 三 数 学 试 卷（理科第卷）201411注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分160分，考试时间120分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置3答题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效4如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1设全集则 2已知复数R),满足，则 3. 已知向量，若，则= 4. “”是“”的 条件(从“充分不
2、必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”选填).5. 某算法的伪代码如右图所示,则输出的结果是 6. 甲盒子里装有四张分别标有数字1,2,4,7的卡片，乙盒子里装有两张分别标有数字1,4的卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是 7. 比较 大小（填“”或“ ”号） 8. 设向量a，b满足：，则 9. 已知函数则不等式的解集为 10. 若方程的解为，则大于的最小整数是 11. 已知函数，且，则= 12. 已知定义域为R的函数的导函数满足，且，则不等式的解集为 13. 请在括号内填写一个整数，使得等式成立，这个整数是 14. 已知是正数,且
3、满足,则的最小值为 法：，变题：已知是正数,且满足,则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知（1）求的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，分别是角A，B，C的对边，若，求的值.16（本小题满分14分）如图，正三角形的边长为 ， 分别是边上的点，且，, 为的中点（1）若，求；（2）设为线段的中点，如果三点共线，求证：.ABCEFMN（第16题图）17（本小题满分14分）已知实数R，函数.（1）如果存在实数，使得，证明：方程必有两个不等的实根（），且满足；（2）如果为非零常数，且，不等
4、式对任意恒成立，求实数的取值范围.18（本小题满分16分）如图1，是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段和曲线分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光需要，拟过栈桥上某点分别修建与平行的栈桥，且以为边建一个跨越水面的三角形观光平台. 测得m，m，防波堤上的任一点与湖堤距离之积恒为20000 m2. 现建立如图2所示的直角坐标系，设点的坐标为（栈桥及防波堤都不计宽度） （1）求三角形观光平台面积的最小值；（2）若要使的面积不小于32000 m2，求的范围（第18题图）19(本小题满分16分)已知R，函数.（1）是否存在实数，使得为偶函数，若存在，请求出实数，若不存在，请说明理由；（2）求函数在区间上
5、的最小值.20（本小题满分16分）已知函数.（1）在函数图象上求一点,使得到直线的距离最短,并求出此最小值；（2）是否存在实数，使得，同时成立，如果有，请求出所有的；如果没有，请说明理由？20.（理）解：（1）设，到直线距离为 ， 3分 令， 4分 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增减，5分当时取得极小值也是最小值， 故当时，到直线距离最小. 6分（2）若存在实数，使得，同时成立，则， ，当时，满足使得，同时成立. 8分显然当，或时，不能均同时成立. 10分不妨设，. 由（1）得，代入（2）得：， 11分设函数 ， ， 12分设函数 ， 13分所以上单调递增， 14分恒成立，上单调递增，
6、（3）式不能成立， 15分不能同时成立，所以有且只有时，原式成立. 16分附加题参考答案21A.证明：连结，则， 4分而，所以， 8分 所以 10分【说明】本题考查了弦切角定理，考查了学生的转化与化归的能力.21B.解：由题意A.1分3分 矩阵A的特征多项式为.则.5分 当，特征方程为，属于特征值的一个特征向量为：，. 7分. .10分21C.解：（1）消去参数， 得直线的普通方程为, 3分 ，即， 两边同乘以得， 得的直角坐标方程为, 6分（2）圆心到直线的距离，所以直线和相交.10分21D.证明:由柯西不等式可知： 5分 故，当且仅当， 即当时，8分 取得最小值为. 10分22.解：（1）
7、当时，所以；当时，所以；当时，所以 3分（2） 由（），猜想，下面用数学归纳法给出证明： 当时，不等式显然成立假设当时不等式成立，即， 那么，当时， ， 因为，所以 10分23解：（1），则.令，则. 1分当时， 在上为增函数. 当x0时，在上为减函数. 3分所以h(x)在x=0处取得极大值也是最大值，而h(0)=0，所以，函数g(x)在上为减函数. 4分当x0时， 5分（2）函数的定义域是， 6分由（1）知，当时，当x0时， 所以，当时，在（1，0）上为增函数.当x0时，,在上为减函数. 8分故函数的单调递增区间为（1，0），单调递减区间为.故x=0时有极大值0 10分 高三数学试卷 第1页（共4页）
