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1、有限元分析上级报告 院业名级号 学专姓班学均布荷载作用下深梁的变形和应力两端简支，长度l=5m,高度h=1m的深梁，在均布荷载q =5000N/m作用下发生平面弯曲 (如图4.1所示)。已知弹性模量为30Gpa,泊松比为0.3，试利用平面应力单元PLANE82, 确定跨中的最大挠度，和上下边缘的最大拉压应力。4.1 均布荷载作用下深梁计算模型1理论解 具有两个简支支座支承的简支梁，它的变形和应力分布在理论上是没有解析表达式。 在一般的弹性力学教科书中，只有将两边支座简化为等效力的条件，即在两个支座的侧表 面上作用有均匀分布的剪力情况，才可以得到理论解答。(1) 设定应力函数。获得这种情况下的解
2、答的主要思路是：按照应力解法，考虑到应力分量关于该梁中心 位置(x=2.5, y=0.5)有对称和反对称关系。可以首先假定一个应力函数为：O= A(y 0.5)5+ B(x 2.5)2 (y 0.5)3 +C(y 0.5)3+ D(X 2.5)?+ E(x 2.5)2 (y 0.5) (4.1) 依据这个应力函数，可以获得各个应力分量，按照上表面受均布压力作用简支梁的上 下表面和左右侧表面的应力边界条件，确定出应力函数(4.1)中的各个待定系数A, B，C, D和E。按照应力求解平面应力问题方法，应力函数应该满足双调和函数：V2V2O= 0 (4.2)将(4.1)应力函数代入上式后，得到：24
3、 B( y 0.5) +120A(y 0.5) = 0 (4.3)即：B = 5A (4.4)(2) 确定应力分量。应力函数与应力分量之间的关系为：(4 5)(46)(4 7)CTv = 4 = 2OXJ-O.5)3 +65 (x- 2 5J2 (y - 0.5) + 6C(v - 0.5)=+6B(x- 2 5)2(_y-05)-6C(v-0.5)G,=-= 25(y-0.5)3 +2J3 +2E(y-0 5)=-2E(y-2 5)(3) 利用梁的上下表面边界条件确定积分常数。上表面受均布压力作用简支梁的上表面(y=h=1m)的应力边界条件:下表面(y=0)的应力边界条件：(4.10)(41
4、1)(4-12) |；1 =(t= 2B(0- 0.5)J -2Z5-2E0-0.5) =0!,_(-65(x-2.5)(0-0.5)2 -2A(x-2.5)-0 从上面的方程(4.8)至(4.11)可以解出：B=-L= 5000 r D = -=- 1250 E =-迴- 沪4#(4) 利用梁的左右端百边界条件确定积分嘗数* 左侧面a的应力边界条件：卄警-讥円(诃J L-o5(0- 2.5KJ-0.5)2 +2(0-2.5)-gi /(2/j) -12500(4.14；右侧面Q=l=iiij的应力边界条件：tTj-4ty-05)J +购(5 2)%卩0) + 6C(f 0.5)0(4.15)
5、g, 5= 65(5 - 2.5)0f - 05)2 + -E(. -5) = (lf Z(2/r) =12500(4.16)(5) 将梁的左右端面边界条件降低为积分满足。考察边界条件(4.13)到(4.16)，可以看出，无法找到能满足两端侧表面的所有应力 边界条件的待定系数。根据弹性力学中的圣维南原理，可以在次要边界上放松边界条件。 注意到梁的上下表面几何尺寸大于两端侧表面的高度，所以上下表面可以认为是主要边界， 左右两端侧表面是次要边界。将左右侧面的应力边界条件放松为积分满足，从而得到在左 右支座位置有偏差，在远离两端区域成立的解析解。将左侧面(x=0)的应力边界条件(4.13)和(4.1
6、3)转换为积分条件：|：仃= j?-4顷FQ沪 +65(0 - y- 0.5) + 6CO- 0.5) - 0.5) + 6 C(y -0.5)yrfv - 0(4.21)甥訂：卩陀-25)-0.十2殆-2刖砂=0(4.22)这些积分条件中的(4.17)，(4.19)，(4.20)和(4.22)会自动满足。条件(4.18)和(4.21)相 同，并且可以确定出：(4-23), q ql 5000 5000 5-、10Z? 4Jr 10x1 4xp - 0.5)3 +30000(.y- 2.5):(y-0.5)- lB4500(y -0-5)(424)=10000(j -OS)J-2SOO-75
7、00(y-0 5)7, = 2J- 0寸+ 2D-2E(y-O3)(y 0 习7 (r-2.5)(x-2 5)(4-26)(4-25)百I 4丿_ I=-30000(-2.5X.V-O 5)2 - 7500(x -2 5)(7) 应力结果的讨论。以上应力表达式在远离支座的区域内是准确的。我们知道，在梁的跨中，弯矩取得最大值，所以弯曲应力。x在跨中最大。从弯曲应力ox的(4.24)的化简过程可以看出，该应 力分量沿着梁的截面高度Y分布除了第一个线性(材料力学解答)项外，叠加了一个非线性项，这一项就是对材料力学解答的修正项。这一修正项在梁的下边缘y=0和上边缘y=1 处的值为：(4-28)对于两边
8、简支细也梁，朋大弯矩位置的最大应力为土_ q 1 _ . S. 4.8 bh 4&/r4x1 xl-由此可以看出，深梁和细长梁在最大弯矩截面引起的拉压应力，差别不大。代入数值, 可以得到最大应力为ct xmax=18.95q=94750Pa。从竖向应力oy的表达式(4.25)可以看出，它与水平位移无关，只与竖向坐标y有关。远 离支座区域的竖向应力的最大值为5000s =- q =- PPaa，最小值为0。ymax剪应力和截面位置有关，并且和截面上的总剪力成正比，呈抛物线分布。这一结论和(4 JO)材料力学中的梁内剪应力分布规律相同。在支座附近剪应力最大，且最大值达到：2x1x1(8) 用图形显
9、示应力结果。由表达式(4.24)至(4.26)描述的应力分布可以在Maple环境中，给出它们的等值线图。图4.2描述的是不同截面上的水平应力。x沿着梁的横截面高度的分布情况，应力从小到大对 应的截面位置分别是0.5m, 1m， 1.5m, 1m， 2.5m。图4.3描述的是水平应力o x在梁内分布 的等值线图。图 4.2 均布荷载作用下深梁内的不同截面上的水平应力分布图图 4.3 均布荷载作用下深梁内的水平应力分布等值线图图4.4描述的是竖向应力y在梁内任意位置横截面上沿着高度的分布情况。 图4.5描述的是竖向应力oy在梁内分布的等值线图。图4.4 均布荷载作用下深梁任意横截面位置沿着高度方向
10、竖向应力分布情况TAUXY图4.5 均布荷载作用下深梁内的竖向应力分布等值线图图4.6描述的是梁内不同位置的横截面上的剪应力t y沿着梁的横截面高度的分布情况，应 xy力从大到小对应的截面位置分别是0.5m, 1m， 1.5m, 1m， 3m, 3.5m, 4m， 4.5m。图4.7描述的是梁内剪应力t y在梁内分布的等值线图。xy15000：100005000-5000-WOOO：-15000J0.4y 0.6 -图4.6 均布荷载作用下深梁内的剪应力沿着梁的横截面高度的分布情况图4.7 均布荷载作用下深梁内的剪应力分布等值线图图4.8和图4.7分别描述的是梁内剪应力第一主应力和和第三主应力
11、等值线图。图4.8 均布荷载作用下深梁内的第一主应力分布等值线图图4.9 均布荷载作用下深梁内的第三主应力分布等值线图(9) 用材料力学方法获得位移解答。深梁的变形是很难用解析方法得到的，这里给出用材料力学方法给出细长梁的变形计 算。对于受均布荷载作用的简支梁，跨中的最大挠度值为：此解答可以作为验证深梁位移计算结果的参考，由于细长梁没有考虑支座位置的实际 变形，而深梁在支座位置的变形很复杂，而且位移偏大。所以深梁的实际位移值应该比细 长梁的位移大。2. ANSYS分析由于深梁的几何形状非常简单，边界支承也不复杂，所以很容易用节点和单元的直接 建模来求解。首先，将深梁在长度方向和高度方向划分为许
12、多格宽度和高度均匀的网格，网格的交 点处设置节点。这里将5米宽度划分为19份，设置20个节点。1米高度划分为9层单元，设置 10个节点。依次按照单元的连接关系定义单元。梁的下边缘的最左侧节点固定，最右侧节点限制竖向位移。在梁的上表面的所有节点 上施加由面荷载等效简化得到节点力，最左侧节点和最右侧节点只有中间节点力的一半。 这样就可以建立深梁计算模型。下面给出求解的主要过程和说明。(1) 定义文件名、标题、在前处理模块中通过循环定义节点。用文件名定义命令“/Filename,EX4.1”定义工程文件名为“EX4.1”，用标题定义命令“/Title”定义标题。用“/PREP7”命令进入前处理模块P
13、REP7。采用对水平方向的 20 个节点循环“ *DO,i,1,20,1” 和对高度方向10 层节点循环 “*DO,j,1,10,1” 循环定义各个节点，用节点定义命令 “n,i+(j-1)*20, (i-1)*5/19, (j-1)*1/9” 依次计算节点号“i+(j-1)*20”，节点水平位置“(i-1)*5/19”和铅直位置“(j-1)*1/9”。用 “*ENDDO”结束高度方向的循环，用“*ENDDO”结束水平方向的循环。(2) 定义单元类型、实常数、材料参数、循环定义所有单元。用单元类型定义命令“ET,1,PLANE82,3”定义第1类单元为带厚度(选项参数“3”) 的平面单元PLANE82。用实常数定义命令“R,1,1”定义单元的第1类实常数:厚度为1米。 用材料定义命令“MP,EX,1,3e10”定义第1类材料的弹性模量EX=30x109N/m2，用“ MP,PRXY,1,0.3 ”定义第1类材料的泊松比PRXY=0.3。接下来又采用循环语句定义单元：用“*D0,i,l,19,l”
