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1、长方体和正方体练习及答案一、长方体和正方体如右图,长方体共有六个面 (每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱. 在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等.(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.) 长方体的表面积和体积的计算公式是:长方体的表面积:S长方体=2(ab bc ca);长方体的体积:V长方体=abc . 正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形.23如果它的棱长为a,那么: S正方体=6a , V正方体=a .【例1】 两个正方体的木块,拼成一个长方体后,棱长之和减少了24厘米,这两个正方体木块原来棱长总和是多少?解析:我们知道,当两个正方体
2、木块拼成一个长方体后,减少了8条棱,所以24厘米就是8条棱的总和。可以求出一条棱长。解:24- 8=3 (厘米)3 X 12X 2=72 (厘米)答:这两个正方体木块原来棱长总和是72厘米。【例2】 一盒磁带的尺寸是 11 X 7 X 2 (单位:厘米) ,12盒磁带装成一个大盒,一个 大盒至少要多少平方厘米的纸板?(接头均不计)解析:要想求出需要纸板的面积最少,在包装时,遮盖的面积 必须最大,从图中可以看出,新拼成的长方体的长宽高。解:长=7X 2=14 (厘米)宽=11 (厘米)高=2X 6=12 (厘米)S 表=(14X 11 + 14X 12+11 X 12)X 2=908 (平方厘米
3、) 答:至少需要908平方厘米的纸板。【例3】 小明家要粉刷一间房子,这间房子长6米,宽5米,高4米,门窗面积为12平方米,如果粉刷每平方米要乳胶漆0.2 千克,粉刷这间房子要乳胶漆多少千克?解析:要求表面积,必须知道求几个面的面积,是粉刷房子,地面是不粉刷的,门窗也不 粉刷,所以要求出五个面的面积再减去门窗的面积即可,再求出用多少千克的乳胶漆。解:总面积=(6X 5+6X 4 X 2+5 X 4 X 2) -12=106(平方厘米)0.2 X 106=21.2 (千克) 答:粉刷这间房子要乳胶漆21.2 千克?【例4】一个正方体的玻璃容器,从里面量棱长是2.5分米,向容器中倒入 5.85升的
4、水,再把一个西红柿放入水中(西红柿全部浸入水中),这时量得水深是12厘米,这个西红柿的体积是多少?解析:我们知道当把西红柿放入水中时,水面会升高,因为西红柿在水中占有一定的空间,升高的水的体积就等于西红柿的体积,我们知道容器的底面积,再求出升高的高度就可以 求出西红柿的体积了。解:5.85 升=5.85 立方分米 5.85 -( 2.5 X 2.5 ) =0.936 (分米)12 厘米=1.2 分米 (1.2-0.936 )X( 2.5 X 2.5 ) =1.65(立方分米)答:这个西红柿的体积是1.65立方分米。【例5】 将一个长方体的长减小 5厘米,变成了正方体,正方体表面积比原来长方体表
5、 面积减少了 60平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米?解析:如果将长方体截去一段后变成正方体,这个长方体一定是特殊的长方体,有两个面 是正方形,减少的面积就是4个侧面的面积,它们是 4个相等的长方形。解:60 - 4=15 (平方厘米)15 - 5=3 (厘米)3 X 3 X( 3+5) =72(立方厘米)答:原来长方体的体积是 72立方厘米。【例6】 如图所示,有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形,请问:这 个立体图形的表面积等于多少?解析:这是一个由 30个正方体组成的立体图形,求它的表面积,如果按照每个正方体表 面积的求法相当困难,我们可以把它看成是对面相等的长方体,从
6、图中不难发现,它们的 相对面是相等 的。可以数出每个大面是由几个小正方形组成的。解:前后两个面:10X 2=20 (平方米) 左右两个面:10X 2=20 (平方米) 上下两个面:16X 2=32 (平方米)总面积:20+20+32=72 (平方米) 答:这个立体图形的表面积等于72平方米。【例7】 如右图, 把一个棱长为6厘米的正锯成4小条,每小条又锯成5小块,共得到大小不等的长方体 60个,这60个 小长方体表面积之和是多少平方厘米?解析:如果我们不是一片一片的锯,而是一条一条的锯,整体锯,实际上水平方向锯 2次,侧面锯3次,上面锯4次,锯一次新增2个面(即2 X 36),一共锯了 9次,
7、 新增18个面,加上原6个面,面数之和与一个面的面积相乘即可得总的表面积。解:总面积为 36 X( 6+2 X 2+ 3X 2+ 4 X 2) =864 (平方厘米) 答:60个小长方体的表面积之和是864平方厘米。【例8】一个长方体,相邻两个面的面积之和为35平方厘米,棱长都是大于1的整数。这个长方体的最大体积是多少立方厘米?解析:设长方体的棱长分别为a、b、c,那么a X b + aX c=35,即a X (b+c)=35。然后我们可以通过讨论 a、b、c的取值情况进行计算,然后比较出结果,从而找到正确答 案。解:当 a=5 时,b+c=7 得到 b=2,c=5 或 b=3 ,c=4当 a
8、=7 时,b+c=5,得到 b=2,c=3,V=5X 2 X 5=50(立方厘米)V=5X 3 X 4=60(立方厘米)V=7X 2 X 3=42(立方厘米)答:这个长方体的体积最大是60立方厘米。【例9】 如右图,在一个棱长为 10的立方体上截取一个长为 8,宽为3,高为2的小长方 体,那么新的几何体的表面积是多少?【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑,新几何体的表面积仍为原立方体的表面积:10 10 6 =600.【例10】右图是一个边长为4厘米的正方体,分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖 去一个边长I厘米的正方体,做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米 ?(图中 只画出了前
9、面、右面、上面挖去的正方体)【解析】原正方体的表面积是 4 4 6 =96(平方厘米).每一个面被 挖去一个边长是1厘米的正方形,同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的来 看,每一个面都增加了 4个边长是1厘米的正方形.从而,它的表面积是:96 4 6 =120平方厘米.【例11】下图是一个棱长为2厘米的正方体,在正方体上表面的正中,1厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长1为-厘米的正方形小洞,第三个正方形小洞的挖法和前两个相 2同为1厘米,那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘 4米?【解析】我们仍然从3个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和
10、:2 2 2 =8(平方厘米);左右方向、前后方向:2 2 4 = 16(平方厘米),111111 1 4 =4(平方厘米),一 一 4 =1(平方厘米),一 一 4二一(平方厘米),这224 44个立体图形的表面积为:8 16 4 1 一 =29丄(平方厘米).44【例12】一个正方体木块,棱长是1米,沿着水平方向将它锯成 2片,每片又锯成3长条, 每条又锯成4小块,共得到大大小小的长方体24块,那么这24块长方体的表面积之和是多少?2=增=6次,【解析】锯一次增加两个面,锯的总次数转化为增加的面数的公式为:锯的总次数加的面数.原正方体表面积:1汉6=6(平方米),一共锯了 (2T) (31
11、)|+( 6 112 6 =18(平方米).【例13】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体,使打包 后表面积最小,该如何打包?当b =2h时,如何打包?当b:2h时,如何打包?当b 2h时,如何打包?【解析】图2和图3正面的面积相同,侧面面积=正面周长长方体长,所以正面的周长愈大表面积越大,图 2的正面周长是 8h 6b,图3的周长是12h 4b两者的周长之 差为 2 ( b -2h).当b =2h时,图2和图3周长相等,可随意打包;当 b 2h时,按图2打包;当 b 2h时,按图3打包【例14】如图,在一个棱长为 立体图形的表面积.5分米的正方体上放一个棱长为4分
12、米的小正方体,求这个“压缩”后我们发现:才正 这样面-个底面; 、侧面.【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的,方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起,正好是大正方体的上这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分:上下方向:大正方体的两四周方向(左右、前后方向):小正方体的四个侧面, 大正方体的四个向:5 5 2 =50(平方分米);侧面:5 5 4 =100(平方分米),4 4 4=64(平方分米)这个立体图形的表面积为:50 100 64 =214(平方分米).【例15】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体,其中34个为白色的,30个为黑色的.现将它们拼成一个 4汉4汇4的大正方体,在大正方体的表面上白色部分最多 可以是多少平方厘米?【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多,相当于要使大正方体表面上黑色部分最少,那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来.在整个大正方体中,没有露在表面的小正方体有(4-2)3 =8(个),用黑色的;在面上但不在边上的小正方体有 (4 -2)2 6 =24(个),其中30 -8 =22个用黑色.这样,在表面的4 4 6 =96个1 1的正方形中,有 22个是黑色,96 -22 =74(个) 是白色,所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.