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1、长方体和正方体练习及答案一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面 （每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱. 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.） 长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体=2（ab bc ca）;长方体的体积：V长方体=abc . 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形.23如果它的棱长为a，那么： S正方体=6a , V正方体=a .【例1】 两个正方体的木块，拼成一个长方体后，棱长之和减少了24厘米，这两个正方体木块原来棱长总和是多少？解析：我们知道，当两个正方体
2、木块拼成一个长方体后，减少了8条棱，所以24厘米就是8条棱的总和。可以求出一条棱长。解：24- 8=3 （厘米）3 X 12X 2=72 （厘米）答：这两个正方体木块原来棱长总和是72厘米。【例2】 一盒磁带的尺寸是 11 X 7 X 2 （单位：厘米） ，12盒磁带装成一个大盒，一个 大盒至少要多少平方厘米的纸板？（接头均不计）解析：要想求出需要纸板的面积最少，在包装时，遮盖的面积 必须最大，从图中可以看出，新拼成的长方体的长宽高。解：长=7X 2=14 （厘米）宽=11 （厘米）高=2X 6=12 （厘米）S 表=（14X 11 + 14X 12+11 X 12）X 2=908 （平方厘米
3、） 答：至少需要908平方厘米的纸板。【例3】 小明家要粉刷一间房子，这间房子长6米，宽5米，高4米，门窗面积为12平方米，如果粉刷每平方米要乳胶漆0.2 千克，粉刷这间房子要乳胶漆多少千克？解析：要求表面积，必须知道求几个面的面积，是粉刷房子，地面是不粉刷的，门窗也不 粉刷，所以要求出五个面的面积再减去门窗的面积即可，再求出用多少千克的乳胶漆。解：总面积=（6X 5+6X 4 X 2+5 X 4 X 2） -12=106（平方厘米）0.2 X 106=21.2 （千克） 答：粉刷这间房子要乳胶漆21.2 千克？【例4】一个正方体的玻璃容器，从里面量棱长是2.5分米，向容器中倒入 5.85升的
4、水，再把一个西红柿放入水中（西红柿全部浸入水中），这时量得水深是12厘米，这个西红柿的体积是多少？解析：我们知道当把西红柿放入水中时，水面会升高，因为西红柿在水中占有一定的空间,升高的水的体积就等于西红柿的体积，我们知道容器的底面积，再求出升高的高度就可以 求出西红柿的体积了。解：5.85 升=5.85 立方分米 5.85 -（ 2.5 X 2.5 ） =0.936 （分米）12 厘米=1.2 分米 （1.2-0.936 ）X（ 2.5 X 2.5 ） =1.65（立方分米）答：这个西红柿的体积是1.65立方分米。【例5】 将一个长方体的长减小 5厘米，变成了正方体，正方体表面积比原来长方体表
5、 面积减少了 60平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？解析：如果将长方体截去一段后变成正方体，这个长方体一定是特殊的长方体，有两个面 是正方形，减少的面积就是4个侧面的面积，它们是 4个相等的长方形。解：60 - 4=15 （平方厘米）15 - 5=3 （厘米）3 X 3 X（ 3+5） =72（立方厘米）答：原来长方体的体积是 72立方厘米。【例6】 如图所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形，请问：这 个立体图形的表面积等于多少？解析：这是一个由 30个正方体组成的立体图形，求它的表面积，如果按照每个正方体表 面积的求法相当困难，我们可以把它看成是对面相等的长方体，从
6、图中不难发现，它们的 相对面是相等 的。可以数出每个大面是由几个小正方形组成的。解：前后两个面：10X 2=20 （平方米） 左右两个面：10X 2=20 （平方米） 上下两个面：16X 2=32 （平方米）总面积：20+20+32=72 （平方米） 答：这个立体图形的表面积等于72平方米。【例7】 如右图， 把一个棱长为6厘米的正锯成4小条，每小条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体 60个，这60个 小长方体表面积之和是多少平方厘米？解析：如果我们不是一片一片的锯，而是一条一条的锯，整体锯，实际上水平方向锯 2次，侧面锯3次，上面锯4次，锯一次新增2个面（即2 X 36），一共锯了 9次，
7、 新增18个面，加上原6个面，面数之和与一个面的面积相乘即可得总的表面积。解：总面积为 36 X（ 6+2 X 2+ 3X 2+ 4 X 2） =864 （平方厘米） 答：60个小长方体的表面积之和是864平方厘米。【例8】一个长方体，相邻两个面的面积之和为35平方厘米，棱长都是大于1的整数。这个长方体的最大体积是多少立方厘米？解析：设长方体的棱长分别为a、b、c,那么a X b + aX c=35，即a X （b+c）=35。然后我们可以通过讨论 a、b、c的取值情况进行计算，然后比较出结果，从而找到正确答 案。解：当 a=5 时，b+c=7 得到 b=2,c=5 或 b=3 ,c=4当 a
8、=7 时，b+c=5,得到 b=2,c=3,V=5X 2 X 5=50（立方厘米）V=5X 3 X 4=60（立方厘米）V=7X 2 X 3=42（立方厘米）答：这个长方体的体积最大是60立方厘米。【例9】 如右图，在一个棱长为 10的立方体上截取一个长为 8,宽为3，高为2的小长方 体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10 10 6 =600.【例10】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖 去一个边长I厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米 ？（图中 只画出了前
9、面、右面、上面挖去的正方体）【解析】原正方体的表面积是 4 4 6 =96（平方厘米）.每一个面被 挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的来 看，每一个面都增加了 4个边长是1厘米的正方形.从而，它的表面积是：96 4 6 =120平方厘米.【例11】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长1为-厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相 2同为1厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘 4米？【解析】我们仍然从3个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和
10、：2 2 2 =8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2 2 4 = 16（平方厘米），111111 1 4 =4（平方厘米），一 一 4 =1（平方厘米），一 一 4二一（平方厘米），这224 44个立体图形的表面积为：8 16 4 1 一 =29丄（平方厘米）.44【例12】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成 2片，每片又锯成3长条， 每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？2=增=6次,【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数加的面数.原正方体表面积：1汉6=6（平方米），一共锯了 （2T） （31
11、）|+（ 6 112 6 =18（平方米）.【例13】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包 后表面积最小，该如何打包？当b =2h时，如何打包？当b：2h时，如何打包？当b 2h时，如何打包？【解析】图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图 2的正面周长是 8h 6b，图3的周长是12h 4b两者的周长之 差为 2 （ b -2h）.当b =2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当 b 2h时，按图2打包；当 b 2h时，按图3打包【例14】如图，在一个棱长为 立体图形的表面积.5分米的正方体上放一个棱长为4分
12、米的小正方体，求这个“压缩”后我们发现:才正 这样面-个底面; 、侧面.【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两四周方向（左右、前后方向）：小正方体的四个侧面， 大正方体的四个向：5 5 2 =50（平方分米）；侧面：5 5 4 =100（平方分米），4 4 4=64（平方分米）这个立体图形的表面积为：50 100 64 =214（平方分米）.【例15】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的.现将它们拼成一个 4汉4汇4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多 可以是多少平方厘米？【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来.在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有（4-2）3 =8（个），用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有 （4 -2）2 6 =24（个），其中30 -8 =22个用黑色.这样，在表面的4 4 6 =96个1 1的正方形中，有 22个是黑色，96 -22 =74（个） 是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.
