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1、第7章缝隙流动一、 学习目的和任务1掌握求解平行平板间缝隙流动、同心圆环缝隙流动问题的方法，分析缝隙大小对流量 泄漏和功率损失的影响 。2掌握平行圆盘间缝隙流动的特性以及圆盘对缝隙的作用力的计算。3了解变间隙宽度缝隙流动。二、 重点、难点重点： 平行平板间缝隙流动、平行圆盘间缝隙流动难点： 平行圆盘间缝隙流动求解方法、偏心圆盘缝隙流动在机械和液压装备中存在着充满油液的各种缝隙，如滑板与导轨间的缝隙、活塞与缸 筒间的缝隙、轴与轴承间缝隙、齿轮泵中齿顶与泵壳之间的缝隙等。这些缝隙流动对机械 性能有很大的影响，特别是在液压传动中的影响更为显著。液压泵、液动机、换向阀等液 压元件处处存在着缝隙流动的问
2、题。缝隙过小则增大了摩擦，缝隙过大又会增加泄漏，所 以缝隙大小的选择在液压元件设计中是一个重要问题。本章主要介绍平行平板间的缝隙流、环形缝隙流、变间隙宽度中的流动、两平行圆盘 间的缝隙流以及球面缝隙流。由于缝隙一般很小，缝隙流动的雷诺数都不大，在大多数情 况下缝隙流动可看作是层流。14 必 Lp：农一刃7.1平行平板间的缝隙流p局C.平行平板间流体运动微分方程导出方法有两种，一是由N - S方程简化而来，二是基于牛顿力学的动力平衡分析,并且因坐标系选择不同，得出速度分布方程也有所不同，但结论在本质上无差异。7.1.1 由 N-S 方程ffi化分析平行平板间的缝隙流动是其他各种缝隙流动的基础，通
3、常把流体两边的平面简化成水平放置的无限大平板。如图7-1所示；设一平行平板缝隙流的平板平行平面缝为流，缝隙 高度为h。下面s首先应用N - S方程来讨论平行平板间流体运动，首先粘性力处于主导地位,故惯性力可不计，即dUx = dy = dz = 0 ；因缝隙甚小，质量力可不计 dt dt dtf二f二f二0 ；假定流动为一维流，即u二u二0 , u二u。在上述条件下，由N x y zy zxS 方程可得如下方程。1 dp月 2 ud 2 ud 2 ud ,duQu、八-+ v( + + ) + v (+ + z) = 0 p Qxdx 2dy 2dz 2Qx Qxdydz(7.1-1)1 dp
4、d /du dudu、八一+ v (+ + z) = 0p dydy dx dydz1 dpd .du dudu、门-+ v (+ + z) = 0p dzdz dx dy dz对于不可压缩流体竺+ 竺 + duz二0dxdydz，又u = u = 0yz，则甞dx=0 n旦=0，则上dx2式进一步简化为2-170=ZS 22 7+W - 2v+引ax=o=01- P切一ay切一饭 ,、由式(7.1-2)知，压力p仅为x的函数，与y和z无关；即迥=dp ；另外对于平行 dxdx平面，单位长度上的压力损失是相同的，或者说压力减小服从线性分布规律，即dpAp=-(其中AP = P - P )；再者
5、，对于充分宽的平行平面，任意宽度坐标z处的dxL12流动状态都是相同的，即色=0。根据上式条件和式(7.1-2)等价为 dzd 2 uAp(7.1-3)dy 2卩 L7.1.2 牛顿力学分析法同样取坐标系如图7-1所示，在流体中任意取一边长为dx和dy的平行六面体微小系统，设六面体左右两个面的压强分别为p和p + -Pdx，上下两个面上形心点上的切 dx应力分别为T+竺dy和工，考虑到流体流动是定常、连续，不可压缩的，所以沿x方向 dy的力平衡方程为pdzdy - (p +dx)dzdy + Tdxdz - (t -dy)dxdz = 0dxdy(7.1-4)化简后则有dTdp(7.1-5)y
6、 方向同样可以得到dTdp忘=p g+dy(7.1-6)dT由于t只是y的函数，则上式中的生=0，并且缝隙中重力的影响可以忽略不计，所以dxdp = 0(7.1-7)可见在平面缝隙流动中，压强P只是X的函数，也可以写成dp，即里=dp =攵dxdxdxdx LKtdr切应力只是y的函数，佟可以写成叟，即式(7.1-5)可写成drdyApL(7.1-8)缝隙流动一般都是层流切应力与速度之间满足牛顿内摩擦定律t = “ dy代入上式则d 2 uApdy 2卩 L(7.1-9)这就是平板中层流运动的常微分方程，这和N-S方程推导出的式(7.1-3)-致。对上式积分得u =丄 Apy 2 + Cy +
7、 C2 卩 L 12(7.1-10)积分常数C1和C2由边界条件决定。7.1.2.1 在 x 方向压强作用下固定平板之间的缝隙流动上下平面均固定不动，由于两端压力差Ap二p - p的作用使流体在x方向流动。由12边界条件y = 0 , u = 0 ; y = h , u = 0，可以得到积分常数Ap , c = 0 2r L2代入式(7.1-10)得到u =(hy - y2) ( y 0 )2卩L(7.1-11)Kydy这就是平行平板间的速度分布规律，在压强差AP的作用下，速度u与x之间是二次抛物线规律。如图7-2 所示，这种流动称为压差流，也称为伯肃叶流。h最大速度发生在两平行平面中线处，把
8、y = 一代入式(7.1-11)得2图7-2压差流u =-Ah 2max 8 卩 L(7.1-12)缝隙宽度为B时，平行平面间的流量q为q = f udA 二 BJh(hy - y2)dy0 2卩LABh3Ap12yL(7.1-13)缝隙断面上的平均流速u为=h 2Bh 12卩L(7.1-14)比较式(7.1-14)和式(7.1-12)则有_ 2u u3 max(7.1-15)切应力分布为r h )一-y12丿ApL心)(7.1-16)7/：h从上式可知，当在两平行平面中线处，即y =-时，e二0。切应力分布图如7-3所2示。图7-3切应力7.1.2.2 零压强差情况下，上板均速运动带动得间隙
9、流动在压力差Ap = pi - P2 = 0条件下，若下平面固定，上平面以速度u 0在X向匀速运动，边界条件为y = 0 , u二0 ; y = h ,，c2 0 ；由于Ap 0，则代入式（7.1-10）得uu = o yh因平行平面间的相对运动产生的流动称剪切流，也称为库埃特（Couette ）流（如图7-4）由式（7.1-17）可求剪切流条件下流量q(7.1-17)切应力分布为du du 、T LX I e ydy dy I h 丿dy该情况下的切应力为常数。q I dq I uBdy B IA牛 ydy - 2 Bh(71-18)u二 1e-h(7.1-19)图7-4剪切流7.1.2.3
10、 在压强差和上板运动共同作用下的间隙流动图7-5压差一剪切流如图7-5所示，压差流和剪切流的叠加称压差剪切流（或剪切压差流）其速度u和流量q可按线性叠加原理求出；式（7.1-11）和式（7.1-17 ）相加，确定速度u分布规律，进而求出流量q。则压差剪切流的速度和流量方程为u(hy - y2) 土 U y ( 0 y h )2X Lh(7.1-20)h3uq BI hudy B(Ap 0 h)012 X L2(7.1-21)其切应力为前两种流动切应力的叠加(7.1-22)一一 y2丿du (h 二口 二dy在上式公式中，当压差流和剪切流的方向相同时用“”号，反则用“”号。例题7.2 环形缝隙流
11、环形缝隙可以分为同心环形缝隙和偏心环形缝隙两种，现分别介绍如下：7.2.1 同心环形隙流pipihr图7-6同心圆环缝隙如图 7-6 所示为同心环形缝隙，其在平面上展开以后也就是平行平板缝隙流的问题，只需将平行平板缝隙中的宽度B用环形长度兀d来代替，即B二兀d二2兀r0。则流量公式 为h3uq（顾 土弓h）（72-1）但环形缝隙这一结论有很大局限性，其计算误差比较大，现根据同心环形缝隙流的基 本方程重新导出结论。在上图7-6中，取o - xrO圆柱坐标系，引用圆柱坐标系中的N-S方程，在不计惯性力，质量力的条件下，假定液体不可压缩和x向一维流及轴流对称条件，可得环形缝隙 中的流体运动微分方程（
12、参看圆管层流内容）d 2 u 1 du 1 dp一 二 odr 2 r dr 卩 dx因字=-，积分上式则有dx LApu = C ln r r 2 + C(7.2-2)(7.2-2)根据边界条件：r = ro，u 二 0 ； r = R ，u 二 0 可定Ap (R2 r2)=4 卩 L ln Rr0Ap (R2r 2 ln R R2 ln r )_9-9a 99ln Rr0(7.2-3)将C和C 2代入式（5.4-2），则有Ap R 2 ln(r / r ) r 2 ln(r / R )u 二(oo oo r 2)4rLln(R / r )o(7.2-4)则通过环形缝隙流的流量为qdq加r
13、udr 二 SL(Ro - ro4)-語音r0r00 0(7.2-5)引入平均半径r =（Ro；ro）及间隙h二Ro ro，并对ln（RJ仃）作一阶线性近似，则有(7.2-6)14r L 2式中 d平均直径d = R + r = 200对于圆管层流r T 0 , d = d = 2R , h = R则有0 0 0(7.2-7)兀d 4 AAp128pL通过以上分析及结论可以看出，如果以q =器Ap作为同心环形缝隙流的公式，比引用平行平面缝隙理论q =兀dh312卩LAp 更准确，并且在理论上可将环形缝隙流与圆管层流统一起来。例题7.2.2偏心环形隙流实际上，在机械和液压装置中，由于制造和安装 等原因，更多碰到的是偏心环形缝隙。因此研究偏心 环形缝隙流更有实际意义。偏心环形缝隙如图7-7所示，偏心距OO = e，1取O1A = R0，图7-7偏心环形缝隙O1A与x轴成角为申，过O作0C /
