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1、2017 年考研数学三真题sx一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分 / 1- co1. 若函数 f (x) = , x 0在 x = 0 处连续，则axb,x 0（A） ab = 1 （B） ab = - 1 （C） ab = 0 （D） ab = 2【详解】 lim2f (x) = lim21- cosx1 x= lim 2=1 ， limf (x) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0 处连续，x0+x0+axx0+ ax2ax0-1必须满足2a= b ab = 1 所以应该选（A）22. 二元函数 z = xy(3 - x - y) 的极值点是（）（A） (0,
2、0)（B） (0, 3)（C） (3, 0)（D） (1,1)【详解】 z = y(3 - x - y) - xy = 3y - 2xy - y2 ， z = 3x - x2 - 2xy ，2 z = -x2x2 y,2 zy2= -2x,2 zxyy= -2 zyx32xz = 3y - 2xy - y2 = 0xz解方程组 = 3x - x2 - 2xy = 0y，得四个驻点对每个驻点验证 AC - B2，发现只有在点(1,1) 处满足AC - B2 = 3 0 ，且 A = C = -2 0 ，则（A） f (1) f (-1)（B） f (1) f (-1)（D）f (1) 0 ，也就
3、是 ( f (x)2 是单调增加函数也就得到( f (1)2 ( f (-1)2 f (1) f (-1) ，所以应该选（C） 11 n=24. 若级数 sin n - k ln(1- n ) 收敛，则k = （）（A）1（B） 2（C） -1（D） -211111 1 2 1 1k 1 1 【详解】iv n 时sin n - k ln(1- n ) = n - k - + o n2 = (1+ k )+2 o n2 n2 n 1n2 n显然当且仅当(1+ k ) = 0 ，也就是 k = -1 时，级数的一般项是关于n（C）5. 设a 为n 单位列向量， E 为n 阶单位矩阵，则的二阶无穷小
4、，级数收敛，从而选择（A） E - aa T 不可逆（B） E + aa T 不可逆（C） E + 2aa T 不可逆（D） E - 2aa T 不可逆【详解】矩阵aa T 的特征值为1和 n -1个 0 ，从而 E - aa T , E + aa T , E - 2aa T , E + 2aa T 的特征值分别为0,1,1,L1； 2,1,1,L,1 ； -1,1,1,L,1； 3,1,1,L,1 显然只有 E - aa T 存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A） 200 210 100 021 ， B = 020 ， C = 020 6. 已知矩阵 A = 001 001 ，则 002
5、（A） A, C 相似， B, C 相似（B） A, C 相似， B, C 不相似（C） A, C 不相似， B, C 相似（D） A, C 不相似， B, C 不相似【详解】矩阵 A, B 的特征值都是l1 = l2 = 2, l3 = 1是否可对解化，只需要关心l = 2 的情况 000 对于矩阵 A ， 2E - A = 00-1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值l = 2 存在两个线性无关的 001 特征向量，也就是可以对角化，也就是 A C 0-10 对于矩阵 B ， 2E - B = 000 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值l = 2 只有一个线性无关的 001
6、 特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B）7. 设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A, C 相互独立， B, C 相互独立，则 A U B 与C 相互独立的充分必要条件是（）（A） A, B 相互独立（B） A, B 互不相容（C） AB, C相互独立（D） AB, C 互不相容【详解】P( A U B)C) = P( AC + AB) = P( AC) + P(BC) - P( ABC) = P( A)P(C) + P(B)P(C) - P( ABC)P( A U B)P(C) = (P( A) + P(B) - P( AB)P(C) = P( A)P(C)
7、+ P(B)P(C) - P( AB)P(C)显然， A U B 与C 相互独立的充分必要条件是 P( ABC) = P( AB)P(C) ，所以选择（C ）m= n 1 n8. 设 X1, X 2 ,L, Xn (n2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若 XXi ，则下列结论中不i=12正确的是（）n（A） ( Xi - m)i=1服从 c 2 分布（B） 2 ( X - X )2n1服从 c 2 分布n （C） ( Xii=1- X )2 服从 c 2 分布（D） n( X - m)2 服从 c 2 分布解：（1）显然 ( Xi - m) N (0,1) ( Xini-
8、m)2 c 2 (1), i = 1, 2,Ln 且相互独立，所以 ( Xi=1- m)2 服从c 2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；n 22(n -1)S 22（2） ( Xi - X )i=1= (n -1)S =s 2 c (n -1) ，所以（C）结论也是正确的；（3）注意 X N (m, 1 ) nn ( X - m) N (0,1) n( X - m)2 c 2 (1) ，所以（D）结论也是正确的；2（4）对于选项（B）： ( X - X ) N (0, 2) Xn - X1 N (0,1) 1 ( X- X )2 c 2 (1) ，所以（B）结n1论是错误的，应该选择（
9、B）2n1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）pp9 -p(sin3 x +p 2 - x2 )dx = p 2 - x2p3解：由对称性知 -p (sin x +)dx = 203p 2 - x2pdx =2t +1t10. 差分方程 y- 2 y = 2t 的通解为 t +1t【详解】齐次差分方程 y- 2 y = 0 的通解为 y = C2x ；设 yt +1- 2 yt= 2t 的特解为 y= at2t ，代入方程，得a = 1 ；2t所以差分方程 yt +1- 2 yt= 2t 的通解为 y = C2t + 1 t2t.211. 设生
10、产某产品的平均成本C(Q) = 1+ e-Q ，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1+ (1- Q)e-Q 平均成本C(Q) = 1+ e-Q ，则总成本为C(Q) = QC(Q) = Q + Qe-Q ，从而边际成本为C(Q) = 1+ (1- Q)e-Q .12. 设函数 f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df (x, y) = yeydx + x(1+ y)eydy ， f (0, 0) = 0 ，则f (x, y) = 【详解】df (x, y) = yeydx + x(1+ y)eydy = d (xyey ) ，所以 f (x, y) = xyey + C
11、 ，由 f (0, 0) = 0 ，得C = 0 ，所以 f (x, y) = xyey 101 13 设矩阵 A = 112 ， a ,a,a 为线性无关的三维列向量， 则向量组 Aa , Aa, Aa 的秩 011 为 123 101 10 1 101 123【详解】对矩阵进行初等变换 A = 112 01 1 011 ，知矩阵 A 的秩为 2，由于 011 01 1 000 a1,a2 ,a3 为线性无关，所以向量组 Aa1, Aa2 , Aa3 的秩为 214设随机变量 X 的概率分布为 PX = -2 = 1 ， PX = 1 = a ， PX = 3 = b ，若 EX = 0 ，则2DX = 【详解】显然由概率分布的性质，知a + b + 1 = 12EX = -2 1 +1 a + 3 b = a + 3b -1 = 0 ，解得a = 1 , b = 1244EX 2 = 2 + a + 9b = 9 ， DX = EX 2 - E2 ( X ) = 9 22三、解答题15（本题满分 10 分）x求极限 lim 0xx0+x - tet dt x3【详解】令 x - t = u ，则t = x - u, dt = -du ， x - tet dt = xue
