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1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系i异面直线(1) 异面直线的定义：我们把不同在的两条直线叫做异面直线.即若a,b是异面直线，则不存在平面使a ua且b u a.(2) 异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托,如图：2. 空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面.(1) 同一平面内，有且只有一个公共点；(2) 同一平面内,没有公共点；学！科网(3) 不同在任何一个平面内，没有公共点.3. 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：(1) 从有无公共点的角度分类:两条直线有且
2、仅有一个公共点：相交直线两条直线无公共点:平行直线异面直线(2) 从是否共面的角度分类:共面直线相交直线 平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理（2） 符号语言：a,b,c 是三条不同的直线,ab, bc .（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行.公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.延： 延電。延二電：.電 ： 睡矚“晅小疆：;；蠡理用公理4证明空间两条直线a, c平行的步骤（1）找到直线b ；（2）证明 ab , bc ；（3）得到 ac.婕鴛晅霧11 晅宀電雀：電晅T；ig .%.晅霭r晅二嬲蜃”理2. 等角定理（1） 自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那
3、么这两个角.（2）符号语言：如图（1） （ 2）所示，在 Z AOB 与 Z AOB中，OA OA； OB O B，则 Z AOB = Z AOB 或 Z AOB + Z AOB=180。.图（1）图（2）三、异面直线所成的角1两条异面直线所成的角的定义如图，已知两异面直线a,b，经过空间任一点O,分别作直线a，a,bb,相交直线a, b所成的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.晅吓罐晅疆r晅.飞戟一.：靈：疆 晅曽jg 冷睡曜* 軽-o癘羸耄（1）在定义中，空间一点O是任取的,根据等角定理，可以判定a/, b，所成的角的大小与点O的位置无关.为了 简便，点O常取在两条异面直线中的一条上.(
4、2)研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面 角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.晅sg、晅電乜r晅電ar觀 晅吓癩晅竊“：晅小竊jk餾2 异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角a的取值范围为.3两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b，记作alb.4构造异面直线所成角的方法(1) 过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线；(2) 当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异 面直线分别平
5、移相交于该点；(3) 构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5求两条异面直线所成的角的步骤(1) 平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；(2) 证明：证明作出的角就是要求的角；(3) 计算：求角度(常利用三角形的有关知识)；(4) 结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补 角就是所求异面直线所成的角.K知识参考答案:1. (1)任何一个平面内2. (1)相交直线 (2)平行直线(3)异面直线、1. (1)平行 (2) allc2. (1)相等或互补篷重点K重点
6、掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K易错忽略异面直线所成的角的范围致误1. 空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意 认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD -A 1B1C1D1中，M、N分别为棱C1DC1C的中点，有以下四个结论： 直线AM与CC是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM 与DD1是异面直线其中正确的结论为A.B.C.D.【答案】A【解析】TA、M、C、q四点不共面，直线AM与C
7、C1是异面直线，故错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故错误.同理，直线BN与MB1是异面直线，故正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故正确.故选A.【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1. 定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2. 定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线3推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法.证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是 正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设
8、，从而原命题成立2. 公理4的应用证明两条直线平行的方法：（1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等;（3）利用公理4.【例2】如图,ABC的各边对应平行于的各边，点E,F分别在边ABAC上，且1 1AE = -AB,AF = -AC，试判断EF与;J的位置关系,并说明理由.a【解析】平行理由如下：11AE 二一AB, AF 二AC,.EF/BC.33又BC BC .BC /EF1 1 11 3. 等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况.【例3】空间两个角a, B的两边分别对应平行，且a=60,则为A.
9、 60B. 120C. 30D. 60或 120【答案】D【解析】 空间两个角a,的两边对应平行，这两个角相等或互补，Ta=60,0=60或120.故选D.【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角a与“的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所 给的角的度数，即可得到“的度数.【例4】如图所示，已知棱长为a的正方体 - 中，M, N分别是棱1的中点.(1) 求证：四边形口 ；是梯形；(2) 求证：-y 【解析】 如團，连接月G在ACD中，：胚”分别是仞、如的中点S是厶ADC的中位.昭MM, MN=AC_由正方体的性质得MHAC=A1C1.jV/?v7/AiCi?且=諮盘即一辺和1知四边形豆
10、 1G是梯形-(2)由(1)知 MN/AC又 VND/A1D1, AZDNM 与 ZD1A1C1 相等或互补，而ZDNM与ZD1A1C1均是直角三角形的锐角，ZDNM=ZD1A1C1.4. 两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P- ABCD中，ZABC二ZBAD二90，BC = 2AD，PAB和厶PAD都是等边三角形，则异面直线CD和PB所成角的大小为fiA. 90。B. 75。C. 60D. 45【答案】A【解析】设HD 二1,则 BC = 2,过/作 AE/CD? .4D=CEJ EEFII
11、pB?则厶tEF或茸补 角即为异面直线CD和期所成的角，如團所示，过F作FGlCD .连接AG?则四边形应FG是梯形, 其中 FGg AE, EF = -PB=-1AG = -.AEFG,过G作GHJ/EF,则 1GHA = AAEF ；2 2 2在67Z4中GH=EF = -.AH = AE-FG=- = -AG=-, KJAG1 = GH1 + AH1,2 2 2 2所以厶tEF=g(r,故选扎【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几 何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角 AEF，放置在三角形中，利用 解三角形的知
12、识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属 于基础题.5. 忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M,N分别为AB, CD的中点，且直线BC与MN所成的 角为30。，求BC与AD所成的角.【错解】如虱 连接月D并取中点迟，连接屈血憾则ENflBC/lAD.故ZENM葩 肚三曲所成的角厶込诙为序C与卫D所成的角,/.ZVW=30D_殳由卫D=NU知ME=EN,/.ZZ=30/. AV = 180-30-30c = 120即眈与肋所成的角为12F.【错因分析】在未判断出ZMEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是
13、两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角a的取值范围是O 90，如果Z MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线 所成的角.学#科网【正解】以上同错解，求得ZMEN=120,即BC与AD所成的角为60.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角a的取值范围是0d90.1若a,b为异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是A.相交B异面C平行D.异面或相交2.已知 ABHPQ，BCQR，ZABC=30，则 ZPQR 等于A. 30B. 30或 150C. 150D以上结论都不对3.已知异面直线a,b分别在平面d，卩内，且anp=c，那么直线c 一定4如图所示，在三棱锥P - ABC
14、的六条棱所在的直线中，异面直线共有B. 3对D. 6对A. 2对C. 4对 5.如图，四面体ABCD中，AD二BC，且AD丄BC，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与BC所成的角为A. 30。B. 45C. 60D. 906. 如果 OA / OA，OB / OB，那么 ZAOB和 ZAOB的关系为7. 下列命题中不正确的是.（填序号） 没有公共点的两条直线是异面直线； 分别和两条异面直线都相交的两直线异面； 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.8.如图所示，两个三角形ABC和ABC的对应顶点的连线AA,BB,CC交于同一点O,且AOOABO _ COOBOC求证：ABCAA B C.B9.空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与
