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1、第1 章 集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念一、概念与能力聚焦1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明： 某些指定的且不同的 对象集在一起就成为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母 A、B 、 C、来表示。元素常用小写字母a、b、c、来表示。集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的 一个集合。例题 1：考察下列每组对象能否组成一个集合？（1）2010 年上海世博会上展出的所有展馆；（2）2010 年辽宁高考数学试卷中所有的难题；（3）清华大学2010 级的新生；（4）平面直角坐标系中，第一象限内
2、的一些点；（5八迈的近似值的全体.2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a属于集合A，记作aGA;元素a不属于集合A，记作a电A。例题 2：已知a =12_、沦, x = m + 3n,m,n e Z，则a与A之间是什么关系？3、集合中元素的特性（1） 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者 不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如A = ,1,3,4,可知 0 e A,6 电 A。（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两 个元素都是不同的”如方程（x - 4）2二0的解集记为b ，而不
3、能记为仃,4。（3） 无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合Qb,c与集合b,a是同一个集例题3:已知集合A中含有两个元素a - 3和2a -1，若-3 G A，试求实数a的值。4、集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。如“方程3x +1 = 0的解组成的集合”由“ 2,4,6,8 组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有 的三角形”，组成上述集合的元素是不可数的，因此它们是无限集。特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作0，如igRx2
4、+1 = o|例题 4：下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集。还 是空集。（1）中国的所有人口组成的集合；（2）广东省2011 年应届高中毕业生；（3）数轴上到原点的距离小于1 的点；（4）方程 x2 = 0 的解构成的集合；（5）你们班上成绩较好的同学；（6）小于1 的正整数构成的集合。5、特定的集合的表示 为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的的字母表示，下面是几种常见的数集表 示方法，请牢记。（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N.（2）非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作N *或N*.（3）全体整数的集合通常简称为整数集
5、Z .（4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q.（5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作R1例题5 :给出下列关系：（1）2属于R ； （2/2电Q （3）| - 3|电N+ ； （4）| - 3| g Q ；2(5)0G0 ,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4二、方法与技巧平台6、元素分析法 解决集合问题，应对集合的概念有深刻理解，解题时能不能把集合问题转化为相关的 数学知识是解题的关键，而集合离不开元素，所以分析元素是解决集合问题的核心。元素 分析法就是抓住元素进行分析， 即元素是什么？具备哪些性质？ 是否满足元素的三个特 性？(即确定性、互异性、无序性)例题6： (1
6、)已知集合A是由a 2 , 2a2 + 5a , 12三个元素组成的，且3 e A，求a 的值。(2)设集合A = k2 k,2k ，求实数k的取值范围。三、创新与思维拓展7、利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题 集合与方程有密切联系，利用集合中元素的特性，即元素的互异性、无序性、确定 性，再结合方程的解法，可以求出集合中参数的值。例题 7：已知集合 A = e Rax2 一3x + 2 = 0,a e R(1) 若A是空集，求a的取值范围；(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来;(3) 若A中至多只有一个元素，求a的取值范围。速效基础演练1、 给出下列四组对象，其中能构
7、成集合的个数为()(1)高一(2)班所有身高180cm以上的同学(2)高一(2)班所有高个子同学(3)26 个英文字母 ( 4)所有无理数A.1B.2C.3D.42、 给出下面几个关系式：空2 e R,0.3 e Q,0 e N,0 e N彳一电Z,5电Z其中正确关系式的个数是( )A.4B.5C.6D.73、已知集合S的二个兀素a, b, c是AABC的二边长，那么AABC 定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4、已知集合M二込-2）,2,-2则集合m中元素个数是（）A.2B.3 C.4D.65、 所给下列关系式中正确的个数是（）（1）兀 w R （2）叮3 电
8、 Q （3） 1 e N + （4）-4| 电 N*A.1B.2C.3D.46、已知集合A中只含有1,a2两个元素，求实数a不能取的值。7、以方程x2 + 2x + m二0的根为元素的集合含有两个元素，求实数m的取值范围?8、已知集合A是由三个元素0,m,m2 - 3m + 2组成的集合，且2 e A，求实数m的值。1.1.2 集合的表示方法一、概念与能力聚焦1、集合的表示方法（1）列举法：就是把集合中元素 一一列举出来的方法，置于大括号内。例如，由方程x2 = 4的所有解组成的集合，可以表示为-2,2。（2）描述法：就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。描述法有两种不 同的表示
9、形式。形式一：将说明元素性质的一句话写在大括号内，即文字描述法。 形式二：在大括号内，首先写出集合元素的表现形式（称之为代表元素）和它的范围，再 画一条竖线（或一个冒号，或一个分号），然后写上元素所满足的条件（性质），即符号描 述法，其基本形式如下：x e A|x具有性质p,或x e A : x具有性质p,或x e A ； x具有性质p。（3）图示法（维恩图）：为了便于直观的认识集合，我们常常用平面上一条封闭曲线所围成的图形（如圆、矩形等）来表示一个集合，这就是维恩图。例如，集合A =,2,3,4 ,可用下列所示几个图形来表示。1， 2， 3， 4例题 1：用列举法把下列集合表示出来1） B
10、= - e N|x e N6 x(3)方程组x+y=2的解集；x - y =0由网+ b（a,b e R）所确定的实数集合。 a b例题 2：用特征性质描述法表示下列集合：(1) 方程X 2 - 2 = 0的所有实数根组成的集合;(2) 由大于10小于20 的所有整数组成的集合。例题 3：用图示法表示下列集合(1) x 2 x 5.x e N ；( 2) 24 的正约数。例题 4：用列举法表示下列集合(1) x e N|x是 15 的约数；3)4)6)2)、x, y ) x+ y=3x-2y=4x = (-l)n,n e N5)= 16, x e N , y e Nx, y)|x, y分别是4
11、的正整数约数。二、方法与技巧平台2、如何使用列举法表示集合 用列举法表示集合时，必须注意以下几点：( 1)元素与元素之间必须用“，”隔开( 2)集合中的元素必须是明确的 ；( 3 )不必考虑元素出现的先后次序 ；( 4)集合中的元 素不能重复； (5)集合中的元素可以表示任何事物 ；( 6)一般说来， 列举法适用于有限 集，但对于含有较多元素的有限集，如果构成该集合的元素具有明显的规律，也可以用列 举法表示，但必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如N+二b,2,3. 用列举法表示集合其优点是集合中的元素清晰可见，一目了然，但对于无限集合且元 素的规律又不太明显时，就显得力不从心。例
12、题5：用描述法表示图1-1-2-4 中阴影部分（含边界）的点的坐标集合。3、如何使用描述法表示集合 描述法分为文字描述和符号描述，使用文字描述的关键是用文字符号把元素所具有的 属性描述出来，如自然数；用符号描述表示集合时应注意：（1）弄清元素所具有的形式 （即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还 是集合、还是其他形式？（2）元素具有怎样的属性，当题目中用 了其它字母来描述元素所具有的属性时，要去 伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。用描述法表示集合时，需要多层次描述属性时，可选用逻辑连接词 “且”与“或”等 连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时， 要对新字母说明其含义或指出其
13、取值范 围。描述法突出了元素所具有的属性，其中文字描述法通俗易懂；而符号描述法则简洁概 括，但有点抽象，不易看出集合中到底有哪些元素。例题 6：用适当的方法表示下列集合： （1）比5大3的数；（2）方程x2 + y2 - 4x + 6y +13 二 0 的解集；（3）二次函数y二x2 -10图像上所有点组成的集合。4、如何使用图示法表示集合用图示法表示集合最大的特点是形象、直观，它特别适用于解决与抽象的集合（即集 合由哪些元素所组成、元素具有怎样的属性不明确）有关的问题，但这通常只是作为一种 解题辅助工具，一般集合的表示方法最终结果不用图示法。例题7：用图示法表示下列集合以及它们之间的关系：A
14、 = 四边形 B = 平行四边形 C = 梯形 D = 菱形 E = 正方形 F = 矩形。三、创新与思维拓展5、集合语言的理解与转换集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言。 将集合的三种语言之间进行相互转化，将集合语言转化为自然语言、几何语言，有助于弄 清集合是由哪些元素所构成的，有助于提高分析和解决问题的能力。解决集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的 。如何弄清呢？关键在于把抽 象问题具体化、形象化。也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表 示抽象的集合，或用图形来表示集合，或用数轴来表示集合；再如，当集合的元素为有序 实数对时，
15、可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。例题 8：下列命题(1)方程x:x 2 + |y + 2 - 0的解集为乜-2)；2) 集合y = x2 -1,x e r与yy = x-1,x e R的公共元素所组成的集合是(3)集合|x-1 a,a e R没有公共元素。其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3速效基础演练1、用列举法表示集合|x2 - 3x + 2 = 0为()A.1,2)B.2,1)C.,2D.2 - 3x + 2 二 02、集合x e N|x 5另种表示方法是(A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4C.0,1,2,3,4,5D.1,2,3,4,53、集合A = *3,5
