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1、正弦定理、余弦定理命题人申占宝正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等即= _ = _=2R （R ABC 外接圆半径）s i An sin B sin C正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角； 2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时:a b sin A 无解a = bsinA一解（直角）bsinA a b一解（锐角）已知边a,b和zAaCH=bsinA 无解a=CH=bsinA仅有一个解仅有一个解有两个解I a b无解一解（锐角）
2、三、讲解范例：例1已知在 AABC中，c = 10, A = 45o, C = 300,求a,b和B解：c 二 10, A 二 45o, C 二 30oB 二 1800 - (A + C)二 lO5oacsin A = sin C 得a =皿=10 X sin45 = 10 迈 sin C sin 30。bc由 = sin C 得C Sin B 二 10 X 血1050 二 20sin 750 二 20 八6 + 迈二 5 阳 + 5、24sin Csin 300例 2 在 AABC中，b = v 3, B = 600, c = 1,求a和A, CAb c . _ c sm B 1 x sin
3、 6001解：二 ，. sinC 二=二sin B sin Cb(32/ b c,B 二 6Oo,. C B,C为锐角，. C 二 3Oo,B 二 9Ooa = . b 2 + c 2 = 2例 3 AABC中，c = v 6, A = 45o,a = 2,求b和B,C解：a cc sin A v 6 x sin 45o*3=, sin C =sin A sinCa22/ c sin A a 1C.1VaW3D. a0ABC中，ZA,ZB的对边分别为a,b，且ZA=60, a =訶,b = 4，那么满足条件123456789101112的厶ABCA.有一个解已知 ABC 的周长为 9,且sin
4、 A : sin B : sin C = 3:2:4,112A. 一B.C. 一 一443B.有两个解C.无解D.不能确定 则 cosC 的值为2D.-3锐角 ABC 中，sin( A + B) = P, sin A + sin B = Q,cos A + cos B = R，则A. QRPB. PQRC. RQPD. QPRABC的内角A满足sin A + cos A 0,且tan A 一 sin A sinB 且 cosBsinAB. cosAsinB 且 cosBsinB 且 cosBsinAD. cosAsinA4、若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且 sinA=2sinBcos
5、C,那么 ABC 是A.直角三角形B.等边三角形5、C.等腰三角形D.等腰直角三角形设 A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB sinA)x2+(sinAsinC)x +(sinCsinB)=O 有等根,那么角 BA. B60B. B三60C. B60D. B 60 ABC 中,a=1,b=f3, ZA=30，则ZB 等于6、满足A=45,a=2的厶ABC的个数记为m,则am的值为A. 4B. 2C. 1D.不定7、如图:D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a，从C,D两点测得A点仰角分别是B ,(a p )，则A点离地面的高度AB等于a sin a sin Psin( P _a)a
6、 sin a - sin P B.cos(a - P)asinacosPC.sin(P -a)a cosa sin P D.cos(a - P )AB8、两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北偏东 30,B 在 C 南 偏东 60,则 A,B 之间的相距( )A. a (km)B.站3 a(km)C.、：2 a(km) D. 2a (km)二、填空题：79、A为氐ABC的一个内角，且sinA+cosA=i2,贝仏ABC是三角形.JL厶10、在4 ABC中，A=60 , c:b=8:5，内切圆的面积为12n，则外接圆的半径为11、 在4 ABC 中，若
7、 Saabc= 4 (a2+b2c2),那么角 ZC=.12、在厶ABC中,31a =5,b = 4,cos(AB)=，则 cosC=J厶三、解答题：13、在4 ABC中，求分别满足下列条件的三角形形状：B=60 ,b2=ac；b2tanA=a2tanB ；sin A + sin BsinC=(a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).cos A + cos B正弦、余弦定理与解三角形、1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C7.A 8.A 9.C 10.A 11.B 12.A二、13.814.4015.9 16.1:2:3BDBBD AAC_14百兀1、(9)钝角 (1
8、0)3(11)(12) 348三、(13)分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. 由余弦定理a2 +c2 -b2a2 +c2 -b212ac2accos60 =n= n a2 + c2 - ac = ac :. (a 一 c)2 = 0 ,2a = c.由 a=c 及 B=60 可知 ABC 为等边三角形.由 b2 tan A = a2 tan B n sincos Aa 2 sin B=ncos B血 B 皿 A =竺=沁.sin A cos A = sin B cos B,sin 2A = sin 2B, . A=Bsin Acos B a2sin2 A或 A+B=90 ,. ABC为等腰或Rt .sinC = SinA + SinB，由正弦定理: cos A + cos Ba 2 + c 2 - b 2,+ c x= a + b2acC(cosA +翻)=+ b，再由余弦定理：cx ”目:;C2(a + b)(c2 -a2 -b2) = 0
