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1、通过球壳的导热杨煜 1102610105市政环境工程学院 建筑环境与设备工程摘要：在傅里叶定律的基础上，我们已经得到了通过圆筒壁导热的温度分布，导热热阻及热 流量。在此，我们将用相同的方法，得到通过球壳导热的温度分布，导热热阻及热流量，同 时根据临界绝缘直径的大小对保温材料的选择进行讨论。关键词：导热热阻、温度场、傅里叶定律、临界绝缘直径。1. 引言在工程实践中，除了会遇到圆筒壁导热问题，还经常会遇到球壳类的导热问题。在进行 了圆筒壁导热的推导后，可采用类似的数学方法对球壳的导热过程进行推导，即运用简单的 微积分方法求解温度分布函数。进而求出各种求解球壳问题需要了解的参数量。此过程的进 行不仅
2、可以加深对稳态导热的理解，同时还能学会熟练地用数学方法，尤其是微积分处理导 热的问题。以及如何运用公式分析求解球壳导热问题。2. 第一类边界条件如图表示一内半径为ri，外半径为：的球壳，无内热源，球壳的导热系数数为常数。球壳内外表面分别维持均匀稳定的温度t和t ，而且t t。要求确定通过该球壳的导热 w1 w2w1 w2量及壳内的温度分布。球壳内、外壁面温度均匀，温度场是均匀对称的，沿轴向的温度变化可以忽略不计，所 以采用球坐标系更为方便，而壳内温度仅沿坐标r方向变化，即一维稳态温度场。于是，表 述上述问题的导热微分方程pc 牛=丄?r2 牛）+ 1-n f （入?）+ 召（九 sin碍）+
3、q0T r 2 dr0Tr 2 sm2 B 0申0申r 2 sin U dudu可简化为下列形式球壳内、外表面都给出第一类边界条件，即已知1)2)(3)A f r 2 空dr v dr丿t = tw1t = tw2式（1）（2）（3）给出了这一导热问题的完整描述。求解这一组方程组，就可以得到球壳内 沿半径方向的温度分布t = f （r）具体函数形式。式（1）可以通过直接积分方法求解。积分一次，得到4）（5）rd = Cdr 1再积分一次，得到式（1）的通解为t 一 2 + Cr2上式中C , C是待定的积分常数，可有边界条件确定。将式（2） （3）代入式（2）, 12可以得到w1w2+C+C联
4、立求解式（ 6）7），得到6)7)8)W2w1w1w2I1rr129)w1将Ci，C2的值代入式中，经过整理，可以得到球壳中的温度分布11t = t + (t t )rr21或采用直径写作10)t = t + (t t )w1w1w2已知温度分布后，可以根据傅里叶定律，求得通过球壳的导热热流量。值得注意，与通过无限大平壁导热过程不同，对于球壳，丁并不等于常数，而是半径R的函数，参看式dr(4)。所以，不同半径r处的热流密度并不是常数。但在稳态情况下，通过半径为r的球壳的导热热流量是恒定的，根据傅里叶定律，它可以表示为=_九 d 4兀 r2 (w)(11)dr从式(4)(8)可知dt t _ t
5、1=ww = dr1w=1r 2( 12)rr将上式代入(11)中，得12tt=4兀九卄11咛12rr或写作12tt=2兀九严一1112( 13 )d1_d2将式(13)改写为欧姆定律的形式，可得二t t14)rr12式中，(一-)就是球壳的导热热阻，单位是C，W。4厭 r r123. 第三类边界条件已知球壳r -侧的流体温度为，对流换热表面传热系数为仆对流换热r - r2侧流体的温度为；，表面传热系数为h2。则球壳两侧的第三类边界条件为dt九dr=h (t 1)dt dr=h2(tl16)17)r = r2应用傅里叶定律表达式，改写式(12)(16)(17)并按传热过程的顺序排列它们，则得=
6、h 4兀 r 2(t t )r =r111f1w1二w w 占(丄-2丄)4兀九 r r19)r r2=h 4兀 r 2(t 一 t )22 w2 f 220)在稳态传热过程中，=r =r1r=r2联立式（18）（19）（20），可得O =11+ -4兀hr24兀九、11t 一 tf21 一 1 )r121)r2丿+4 兀 hr 22212则球壳传热过程中的热阻为R .九 4兀h r24兀九、11r2丿+4 兀 h r 22222)R =九4兀h r 21 1 i =1由式（23）可知热流体通过球壳和保温层传热给冷流体传热过程热阻为丄一 11r24兀hr24兀九.1 1 11 一丄r r 丿1
7、24兀九、ins+4 兀 hr 22x24)当加厚保温层时， r 增大，X保温层热阻占ins1 -丄1r r 丿2x随之增大，而保温层外侧的对流换则多层球壳热阻为23)+4兀hr 22 n+14. 临界热绝缘直径热热阻 1 随之减小,4 兀 h r 22x有数学知识可知 R 先减小后增加，具有一个极小值。对应于这X一变化，传热量随着d增大，先增大后减小具有一个极大值。对应于总热阻R为极小值的保温层外径称为临界热绝缘直径d = 2r，即ccdR 11x dr4兀九r 2兀h r 3xins x2 xd = 2r = insc c h25. 结论参考文献：1】章熙民，任泽霈，梅飞鸣. 传热学（第五版）.中国建筑工业出版社，2007 年2】张宗达.工科数学分析（第三版）下册.高等教育出版社，2008年
