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1、两类特殊平均速度的计算公式及应用金星明我们知道，速度是用来表示物体运动快慢的物理量。对于速度公式v二s，它 t 不仅适用于匀速直线运动，也适用于变速运动，只不过在变速运动中，它表示物 体在通过路程 s 中的平均速度。在各类物理考试与竞赛中，常常有两类特殊的平均 速度计算问题出现。然而由于学生对“平均速度”概念内涵理解的不准确，缺乏 深入的认识，往往导致一些“想当然”的错误。为了加深对“平均速度”的理解 与应用，弄清知识的来龙去脉，下面就对这两类问题采用“由一般到特殊”的思 维方法进行公式推导，并对公式作简要数学分析，从中寻求规律性的结论，以便 我们灵活应用。第1类问题 某物体以平均速度V行驶路
2、程S,紧接着又以平均速度v2行驶 路程S2。求该物体全程的平均速度V。2全ss解：. t = 1， t = 21 v 2 v 12若设 m=s1s + s12ssn= 2 =2则 0m、n1 且 m+n=1，于是公式（*）s s + s12 _ s s + ss + s（s + s ）v V V = = 2 = 1 = 1 2 1 2全tt + tsss V + s V121+ 2 2 1 1VV12即 V = 1+ s ）v V2 1 2（ * ）全 sV + s V21 1 2变形为VVnV + mV12特别地，当s=s2，即m=n=丄时，公式变形为V =加乙122全 v + v12 至此
3、，如果已知物体以不同的（平均）速度运动了两段相等的路程，用公式计算全程的平均速度就能简化解题过程，提高解题效率。（见例1） 第2类问题 某物体在t1时间内以平均速度V行驶，紧接着又在t2时间内以 平均速度V昇亍驶。求该物体全程的平均速度V。2全解： s = v t , s = v t全tt + tt + tt + t121212_ s s + s v t + v t tv + tvv = = 2 = 2 = 2*)1 1 1 2 2 2_ t v +1 vv = 112 2全 t + t 12若设 p= ti = -i , q=12 = I ，则 Ovp、q1 且 p+q=l,于是公式(*)
4、t t +1t t +11 2 1 2变形为V全 = pvi+ qv2特别地，当t1=t2，即p=q= 1时，公式变形为v =-i 2122全 2所以，当已知物体以不同的（平均）速度在相等的时间内运动了两段不同的路程，可以用公式迅速计算出全程的平均速度。（见例2）从公式可以看出，上述两类平均速度的计算问题中，全程的平均速度均与全程s的具体数值无关。下面对公式作简要数学分析：若假设0vv1vv2，利用数学知识，我们容易证明：（1）对于公式，均有v1v v vv2； v1v v vv2；1 全 21 全 2（2）对于公式，有v vv。全全证明：（1）中的结论根据“平均”的概念可以很直观地得到。(2
5、)Jv v =全全2v vv + v12v + v- (v - v )21缶=12 v022(v + v )12v v v 全全公式对于解与两类特殊平均速度有关的选择题非常有用，应用它们能对 解答进行范围估计，从而可用筛选或排除法进行选择。（见例 1）公式应用举例：例 1、小红骑车上学，当她以 4m/s 的速度骑完前一半路程时发现时间紧张， 为了不迟到，她改用 6m/s 的速度通过后一半路程，则她通过全程的平均速度是 （）A、5m/sB、4.8m/sC、5.2m/s D、条件不足，无法判断分析：此题属于第1类问题，由公式易算得v =4.8m/s，故选B；或由公式全算出v =5m/s，又由公式可
6、知v 5m/s，而选项中只有B符合，故选B。 全全例2、甲、乙两处相距1500m，小李从甲地出发，前一半时间内步行，速度为 1.2m/s,后一半时间内跑步，速度为2.4m/s，求全程的平均速度。分析：此题属于第2类问题，用公式可以很快计算出v=1.8m/s。全注：计算过程中，我们根本没有使用数据“1500m”因为我们知道v与全路 全程s无关，可给可不给，属多余条件或称为干扰条件。（思考：练习题中哪些数据 是多余条件？）例3、一人骑自行车从甲地到乙地，全程的平均速度为12km/h,在前2/3路程 上的平均速度为10km/h，求后1/3路程上的平均速度是多少？ （1998年四川省初 二物理竞赛复赛
7、试题）分析：此题可用公式来计算，其中v =12km/s，v.=10km/h，m=2/3，n=1/3, 全11 fA求 v2，即 12= 2-一，从而解得 v2=20km/ho-x 10 + - v33 2练习：1、汽车在平直的公路上从甲地开往乙地，它前一半时间内速度是v，后一半 时间内速度是v2,则在全程中的平均速度为（）A、vv1 2v + v12B、v + v 122C、2v vv + v12D、v + v -42vv122、甲、乙两地相距s，小车以不变的速度v1由甲地驶往乙地，又以更大的速 度v2驶回甲地，则小车往返甲、乙两地之间的平均速度为（）A、B、vv1 2v + v12C、2v
8、v1-2r-v + v12D、2(v + v )12vv123、一辆汽车从甲地驶往乙地的过程中，前一半路程内的平均速度是30km/h, 后一半路程内的平均速度是60km/h，则在全路程内汽车的平均速度为（）A、 35km/hB、 40km/h C、 45km/hD、 50km/h4、李明的家距学校600m，某天他上学时，在前3/4时间内以1m/s的速度走 完前一段路程，为了不迟到，在后 1/4 时间内，他改用 1.5m/s 的速度走完后一段 路程，他上学走路的平均速度是（ ）A、 1.2m/s B、 1.125m/s C、 2m/sD、 2.5m/s5、某滑冰运动员，滑一段斜坡，前半段的平均速
9、度是v，后半段的平均速度 是前半段的一半，则他在全斜坡滑行的平均速度是（ ）A、B、4vC、2 vD、6、甲、乙两同学从跑道一端前往另一端，甲在全程时间一半内跑，另一半时 间内走；乙在全程的一半路程内跑，另一半路程内时间走，如果他们走和跑的速 度分别都相等，则（ ）A、甲先到终点B、乙先到终点C、同时到达终点 D、无法判断7、一辆汽车在平直的公路上行驶500m，汽车通过前一半路程的平均速度为 15m/s，通过后一半路程的平均速度为10m/s，则汽车在全程的平均速度是（）A、 12.5m/s B、 20m/s C、 15m/sD、 12m/s8、一艘船在两地之间航行，顺水时船以速度 v1 航行，
10、逆水时船以速度 v2 航行， 那么一个来回船的平均速度是不是v= V1 ； V2 ?如果不是，该为多少?9、从火车上下来两个旅客，他们沿同一路线走向与车站距离为 S 的同一地点，甲旅客一半时间行走的速度是V,另一半时间行走的速度是v2。而乙旅客则用速 度V走完前半程，用速度V2走完后半程。若甲、乙两旅客从车站到达同一地点所 用时间分别为t1和t2，则t1=，t2=。（1998年四川省初二物理竞赛复赛试题）10、作变速直线运动的物体，若前一半时间内的平均速度为4m/s，后一半时 间内的平均速度为8m/s，则全程的平均速度是多少？11、甲、乙两辆汽车同时由成都开往重庆。甲车在前一半路程中的速度为V
11、, 后一半路程中的速度为v2（VHv2）;乙车在前一半时间内的速度为V,后一半时间 内的速度为v2。问：哪辆车先到达重庆？请加以证明。（第十二届全国初中物理知 识竞赛初赛试题）通过以上分析与练习，我们认识到：无论是基本概念还是重、难、疑点，只 要在平时的学习过程中，注意对概念或公式的内涵进行深入的理解，抓住概念内 在的规律性，我们就能举一反三、触类旁通，提高分析问题、解决问题的能力。Keys of exercises：2v v1、B2、C3、B 4、B5、C 6、A7、D 8、不是；v=v + v 129、S ；S10、6m/s 11、甲先到达重庆；（证明参照公式v + v2v v1 2 1 2的证明过程）说明：第2、3、5、7、8小题均可用公式求解；第1、10小题用公式解; 第4小题用公式解；第6、9、11小题用公式求解。另外第5、7小题还可 用公式求解。
