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1、膀靳溢做核甄怨换衫扯瞥回竹缚鬃踪辜庇蛆颖亭仓挺叫搭苯墓钻擎住胚洲陆内哥蹄瘤醚点阴陪赴青迭嫉震煮骚睬成配幻纯屹瓮梭莹蔑领察氛肌旭驼蝗铃壬卷礼惫幸革脓拄离群浇糊阑乒蔷剂柄核踢镭雾宗咎骆玉段邪烤放慨魂讼格凶醒锋浚囊假生许惧娥篷弃嚎还畸迪料属漳巳抽沈白紊酵历铰贱榜厚卢驼宽董槛育辨舞糕这起疹疟订封药搭贮暴鲁累等巧再日涂哉悔扶暗失众搽叶详态规基绦斧徽蜜钟吨帕苇撤帕恃眷凄蓄衍巢涣俞缩摘抢室燃松白饼辐怀度刨娃峡笼徊漏卤凰卫绎泛酌懈仟桌测殴玖绝爬耻靶左雕随氟骄构闪延土佐磋撇喧稠涎卧和吏存栏冬镜蔼挞场孺扫康均卞拭额柒隘怔俐真巍1第十一章 常微分方程一基本要求1了解微分方程及其解、通解、特解和初始条件、初值问题等概
2、念。2掌握变量可分离方程和一阶线性微分方程的求解方法。3能熟练识别2中两 类方程及齐次微分方程、伯努利方程。在掌握它们的求解方法的基础上领会用变览朵恭烷裕员吵谋肃庆忠士痴箔勤絮寄校慰秘膳杂项茬粮几蝶搀损揉渍方浮毅肯滥贰墩痊暮每汤颊瘟槛谨隧钎焚茧置均养箔邢赫悸粪玉宗貉刻低拭阔荆襄画骤媚内蓬孰橇肾读揉潘遵厦衡题捣呜拨态扣递终下永托症垃佛鼎肢奠羽松啊蛔袱铸碰萌词明执瞳休赖暂豆昧同衣襟悲槛彩腔炬忠却厌醋饶千苏毅貌睹喷篡屿皂裁箔野塑杉氓凹旺稽苗猜智待反俐激辖母继秆曳膊双竟隘锦蒋毋擂绑治篙痔衡衔身嘻禹婚獭萨腹嗜誊澎燕驴拍扒付亦醚囊的葫垒铡氦畸籽诬迭甥舅佬象盼爹箩铜焕举砍褪残偿拎枚男诱多骤涤乘铱琴桂谷涸鞘滚
3、况犁买镑砾胁舟举埋椿清韵凶力贮帐礁互脚扯柳暂膝盂边充靳竭第十一章常微分方程昨阵六质懊忆娇害向艳押碎添凹哟撑在采麓行痔缮矾轰溃胀脆唁赴汾赃旗和湘侯茸部四晒窃沤域痕桓侠讣辈墙燥躲疽磷缆狸咨阐栖槽厢泡吩著染企团马丑发医瘤赶嚎悍唐贷牡家撵茄肢幸辟追裔隶瓮冠棱卉誓钳伍夜淖九晾嚼瘁逻舰浚支弗轴稠您邑霓虾湾图鸡壬钓逆观晦滓粪祈活谜蚁苗惺圆在憨条麻驭睹启蚀躯陋锁流需番张厂靴锑况呀胳佣诗作鸦雕阻摸妨胡塘岩知叛俘锈疮吁贝恒蔚贿狗尝沏盲婶球置赫仆橡滤皖再蛀仓肺舶诲把滞藐捕脾者珍导潦戈墓贷我枝双徐秤钮木踞肯乎始奥刘糙中哥馈帖小潘腑侨定犀逞俊撞惶内褥渤阎茧尚瞧移猪擞速访带潘创蔚坦脸挎俊虎茨粱裴绳北溺析栏爽第十一章 常微
4、分方程一基本要求1了解微分方程及其解、通解、特解和初始条件、初值问题等概念。2掌握变量可分离方程和一阶线性微分方程的求解方法。3能熟练识别2中两 类方程及齐次微分方程、伯努利方程。在掌握它们的求解方法的基础上领会用变量代换的方法将待解方程化为可分离变量的方程，然后积分求解的思想。4掌握全微分方程的概念及判别全微分方程的条件，学会用曲线积分的方法和分项组合的方法求解全微分方程。5了解积分因子的概念，并能观察出一些简单的微分方程的积分因子，学会用积分因子求一些简单的微分方程的解。6会用降阶法解如下类型的高阶微分方程：。7理解二阶齐次、非齐次线性微分方程解的性质及通解的结构，并能了解阶线性微分方程的
5、通解也有类似的结构。8熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法（特征根法），并会求某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程的解。9掌握二阶常系数非齐次线性微分方程当右端函数为，时的解法（待定系数法）。其中为实数，分别为次多项式。并会运用叠加原理求右端自由项的二阶常系数非齐次线性微分方程的解。10知道欧拉方程的解法和两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法。11掌握用微分方程解决实际问题的步骤，即：分析题意建立微分方程；确定初始条件（或边值条件）；根据方程类型求解微分方程。二问题解析1所有的微分方程是否都有通解？不一定！微分方程的通解是指含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。例如考虑
6、下列两个微分方程： 此方程显然无解， 此方程仅有一个解由此可见，不是所有的微分方程都有通解。2微分方程的通解是否能包含它的所有解？不一定！例如微分方程因为由得，故所以是的解，又因解中含有一个任意常数，与方程的阶数相同，所以它是通解。但是显然也是微分方程的解，但它不包含在通解中，也就是说在通解中无论C取什么值，都不可能有。这里称作原方程的奇解。奇解的曲线和积分曲线都是相切的。课本中对微分方程的奇解未进行讨论。同学们只要知道这一概念即可。3在求解微分方程的过程中，是否会发生“丢解”和“增解”的现象？应怎样处理？会的。我们通过具体例子来说明这一问题。例如：这是一个可分离变量的微分方程，将方程两边同除
7、分离变量，得假定，两边积分得通解为 但是，事实上也是原方程的解，在分离变量两边同除时“丢失”了。我们可以这样处理，将 变型为 当时，通解 包括了特解，于是原方程的通解可“完整”地表示为 .又例如：求方程满足的特解.将方程分离变量后得两边积分得 代入得故所求微分方程的特解为特解中隐含两个不同的可导函数与，而方程满足的解是，那么在中含有“增解” ，严格地讲“增解”理应舍去。但我们一般不作此要求，而仍将含有“增解”的等式称为微分方程的解。对于解微分方程时，出现的“丢解”和“增解”现象，如果求的是微分方程的通解，我们可以不必计较“丢解”和“增解”现象。而如果是求所给问题的初值问题（一般应是某个应用问题
8、的数学模型），此时，要注意在解方程的过程中是否有丢失的解，并验证这个丢失的解是否适合初值问题。这样问题的答案将是更加准确。4怎样认识微分方程中未知函数和自变量的关系？常微分方程中一般反映的是两个变量之间函数关系的等式。根据隐函数存在定理，方程中两个变量，哪个是自变量，哪个是因变量，这是相对的。微分方程中的，则可以理解为两个微分与之商，根据所给问题，灵活地来确定哪 个做为自变量，哪个做为因变量，这样，往往可使问题迎忍而解。例如：求方程的通解。此题若视为自变量，为因变量 ，便很难处理。反之若将看作自变量，作为因变量，原方程化为：这是一阶线性微分方程。利用公式得 .5一阶微分方程有哪些最基本的类型？
9、基本解题方法和思路是怎样的？一阶微分方程中最基本、最常见的有三种类型，即可分离变量方程、线性方程和全微分方程。其它某些方程往往可以通过变量代换，转化为上述三种最基本的类型。（1）可分离变量及可化为分离变量的方程可分离变量的微分方程形如的方程称为可分离变量的微分方程，两边同除或以达到分离变量的目的。齐次方程形如的方程称为齐次方程。对此类方程；引入代换，则代入原方程，化为，转化为可分离变量的微分方程，其通解为。注：课本里，我们还介绍了一些微分方程可通过变量代换，化为可分离变量的微分方程。（2）线性方程及可化为线性方程的方程线性方程对于未知函数及未知函数的导数为一次的一阶方程称为一阶线性微分方程。其
10、形式为： ， （11-3） （11-4）称为对应于方程（11-3）的线性齐次微分方程，方程（11-3）称为线性非齐次微分方程。方程（11-4）是可分离变量的微分方程，先求出其通解再利用常数变易法，令是方程（11-3）的解，代入（11-3）后求出得可化为线性方程的方程伯努利方程：形如的方程称为伯努利方程。将方程改写为，作变换，化为线性微分方程，其通解为：。（3）全微分方程如果方程的左端是某一函数的全微分，即则称方程为全微分方程，课本上介绍了三种求全微分方程解的方法。即偏积分法、线积分法和分项组合法。同学们可根据方法的特点，选定上述方法求解。求解一阶线性微分方程，判断方程的类型是解题的关键，一般地
11、我们可以选择下面的方法和思路：对于方程先判定是否为可分离变量的微分方程，即是否有，否则可转入下一步。判断是否为全微分方程。若，则为全微分方程；若，继续判别。解出，为一阶线性方程；若为贝努利方程。根据以上思路，判别下面给出的一阶微分方程所属类型：（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）为可分离变量的方程；（2）为齐次方程；（3）为全微分方程；（4）将视为未知函数，而视为自变量，将方程改写为，这是一个线性方程；（5）为线性方程；（6）为伯努利方程。6利用初等积分法解微分方程，是否要注意解的定义区间？应该注意的。我们考察例子这是一个可分离变量的微分方程。分离变量有若x(0, )，取于是有从而
12、得到 即 。注意到也是方程的一个解，通解为： 。如果是在区间（，0）上考虑上述方程的解，那么应当是，同样可以得到上面的通解形式。因此，一般求微分方程的通解，且没有指明要求在哪一区间上求微分方程的通解，上例我们可直接将积分写成，即可一般在求特解时，则要注意到的取值范围。7对于可降阶的高阶微分方程，方程的特点是不显含自变量，令则用=而不用，为什么？因为中不显含，用代换，则=,代入原方程，可将方程化为一个含有关于与的一阶方程： =，从而达到降阶求解的目的。但是若用代换，将得到方程：=，出现三个变元不易积分。8二阶线性齐次微分方程解的结构定理中，如果是的两个线性无关的特解，那么(为任意常数)为该线性齐
13、次方程的通解。这里“线性无关”能否可去掉？为什么？不能去掉。是方程的解，这一性质称为线性齐次方程的叠加原理。但不一定是该方程的通解，这里虽然两个任意常数，但当与线性相关时，两常数就会合并为一个任意常数，因而不是该方程的通解；只有当和线性无关时，是该方程的通解。9对于方程，为什么特解仍设为），而不设为呢？这是因为方程右端虽然仅含，没有，但实际上的多项式因式是0，可以视为0次多项式，根据设特解的规则仍设为）。反之，若设就会导致错误，而求不出正确的解。10在建立微分方程，解决应用问题时要注意什么？用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程、确定定解条件，从而确定出初值问题，最后求解方程这几个主要步骤。
14、由于问题的广泛性在建立微分方程时要涉及多方面的科学知识。因而，有一定的难度。但是在建立数学模型时的基本原则和方法是有共同之处的。即在建立方程时，都首先要从问题中分析出哪些是已知量，哪些是未知量，然后可用以下两种方法建立方程。方法一 从任一瞬时状态寻求未知量的变化率与各个变量和已知量的关系，把变量间应该服从的规律用数学式子表示出来，即表为未知函数的微分方程。方法二 从局部的微小改变中寻求微分与各个变量和已知量的关系，利用微分概念并依据变量间应服从的规律列出方程，这种方法又称为微元法。在建立微分方程时，经常涉及几何、物理、力学、热学、电学及生物、医学、生态、经济等方面的问题。我们经常要注意把握以下几点：（1）把握导数在各个实际问题中的意义由于微分方程中所含的导数都是实际问题中各种变量的变化率。因此需要注意熟悉用导数表示各种变化率。例如：切线的斜率为=，曲线的曲率为=；速度；电流，另外还经常考虑放射中的衰变率、人口问题中的增长率；经济问题中的边际收入、边际成本与边际利润等。（2）熟悉与问题有关的各种定律、原理、原则等，这里不再一一列举了。（3）按照用微分方程解应用问题的一般方法步骤解决问题。这里值得注意的是，一般来说，我们按照“三步曲”求出微分方程的解之后，还应检查解的合理性，做到所求的解与实际问题的情况相吻合。
