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1、二次三项式因式分解复习复习目标：(1) 理解二次三项式的意义；(2) 理解十字相乘法的根据；(3) 能用十字相乘法分解二次三项式；(4) 重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1 的二次三项式的十字相乘法 【重点难点解析】1二次三项式多项式ax 2 + bx + c,称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次 项，c为常数项.例如，x2 -2x-3和x2 + 5x + 6都是关于x的二次三项式.在多项式x2 -6xy + 8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果 把x看作常数，就是关于y的二次三项式.在多项式2a2b2 - 7ab + 3中，把ab看作一个整体
2、，即2(ab)2 - 7(ab) + 3，就是 关于ab的二次三项式.同样，多项式(x + y)2 + 7(x + y) +12，把x+y看作一个整体， 就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2. 十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规 律是：(1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2 + px + q，如果能把常数项q分解成两个因 数a，b的积，并且a+b为一次项系数p,那么它就可以运用公式x 2 + (a + b) x + ab = (x + a)(x + b)分解因式.这种方法的特
3、征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的 x 可以表示单项 式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符 号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中 绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2) 对于二次项系数不是1的二次三项式ax2 + bx + c (a，b，c都是整数且aMO)来说， 如果存在四个整数a2, % C2，使J 3= a，弓叮C，且罕2 +仔广b，那么 ax2 + bx + c = a a x2 + (a c + a c )x + c c = (a x + c )(a x + c )它的特征1 2 1 2
4、2 1 1 2 1 1 2 2是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复 杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为 了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项 系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与 一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两 数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式，还要注意 避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系 数；二是由十字相乘写出
5、的因式漏写字母.如：5x2 + 6xy 8y2 = (x + 2)(5x 4)3因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相 乘法，最后考虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试 一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”教学过程：一、师生互动1、把下列各式分解因式：(1) x2一 2x-15 ； (2) x2 -5xy + 6y2.点悟：(1)常数项一15可分为3 X(-5)，且3 + (-5)=-2恰为一次项系数；(2)将y看作
6、常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(一2y)( 3y),而(一 2y) + ( 3y) = (5y)恰为一次项系数.解：(1) x2 2x 15 = (x + 3)(x 5)；(2) x2 5xy + 6y2 二(x 2y)(x 3y).2、把下列各式分解因式：(1) 2 x2 5 x 3 ； (2) 3 x2 + 8 x 3 .点悟：我们要把多项式ax2 + bx + c分解成形如(ax + c )(ax + c )的形式，这里1 1 2 2a a = a， c c = c 而 a c + a c = b .1 2 12 12 21解：(1) 2x2 5x 3 = (2x +
7、1)(x 3)；(2) 3x2 + 8x 3 = (3x 1)(x + 3).点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和 常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练 习，积累经验，才能提高速度和准确性3、把下列各式分解因式：(1) x 4 -10 x 2 + 9 ；(2) 7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y)；(3) (a2 + 8a)2 + 22(a2 + 8a) +120 .点悟：(1)把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式；(2) 提取公因式(x+y)后，原式可转化为关于(x+y)的
8、二次三项式；(3) 以(a2 + 8a)为整体，转化为关于(a2 + 8a)的二次三项式.解：(1) x4 -10x2 + 9 = (x2 -1)(x2 - 9)= (x+1)(x1)(x+3)(x3).(2)7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y)=(x + y)7(x + y)2 -5(x + y) - 2=(x+y)(x+y)17(x+y)+2=(x+y)(x+y1)(7x+7y+2)(3)(a 2 + 8a )2 + 22( a 2 + 8a) +120=(a2 + 8a + 12)(a2 + 8a +10)=(a + 2)(a + 6)(a 2 + 8a +10)
9、点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一 个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否 能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止4、分解因式：(x2 + 2x 3)(x2 + 2x 24) + 90 .点悟：把x2 + 2x看作一个变量，利用换元法解之.解：设x2 + 2x二 y ,贝y原式= (y3)(y24)+90y 2 27 y +162= (y18)(y9)(x2 + 2x 18)(x2 + 2x 9).点拨：本题中将x2 + 2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的 良好效果.此外，y2 27
10、y +162 (y -18)(y -9) 一步，我们用了“十字相乘法”进 行分解例 5 分解因式6x4 + 5x3 38x2 + 5x + 6.点悟：可考虑换元法及变形降次来解之11解：原式x26(x2 +) + 5(x + ) 381x 21xx26(x + )2 + 5(x + ) 50，1 xx令x + y ,贝yx 原式x 2(6 y2 + 5 y 50) x2(2y5)(3y+10)23x 2(2 x + 5)(3x + +10)xx (2x2 5x + 2)(3x2 +10x + 3) (x 2)(2x 1)(x + 3)(3x +1) 点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的
11、同时，还应用了换元法，方法巧妙 令人眼花瞭乱但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个 重要环节例6分解因式x2 2xy + y2 5x + 5 y 6 点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(xy)的二次三项式. 方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式.解法 1：x2 2xy + y2 5x+5y 6(x2 2xy+ y2)+(5x+5y)6二(x - y)2 5(x - y) - 6-(x - y +1)(x - y - 6).解法2： x 2 一 2 xy + y 2 一 5 x + 5 y 一 6=x2 一 (2y + 5)x + y
12、2 + 5 y 一 6二 x2 - (2y + 5)x + (y + 6)(y -1)-x (y + 6) x 一(y 1)= (xy6)(xy+l).例 7 分解因式：ca(ca)bc(bc)ab(ab).点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组 解：ca(ca)+bc(bc)+ab(ab)=ac 2 - a 2c + b2c - be 2 + ab (a - b)=c2(a-b)-c(a2 -b2) + ab(a-b)二 c2 (a - b) - c(a + b)(a - b) + ab(a - b)=(a -b)c2 - c(a + b) + ab= (ab)(ca)(cb)
13、. 点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某 几项展开再分组.此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含ab的因式， 从而能提公因式.随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解.例8 已知x4 + 6x2 + x +12有一个因式是x2 + ax + 4 ,求a值和这个多项式的其他因 式.点悟：因为x4 + 6x2 + x +12是四次多项式，有一个因式是x2 + ax + 4 ,根据多项式的 乘法原则可知道另一个因式是x 2 + bx + 3 ( a、b是待定常数)，故有 x4 + 6x2 + x +12 = (x2 + ax + 4) (x2 + bx
14、 + 3).根据此恒等关系式，可求出 a，b 的值.解：设另一个多项式为x2 + bx + 3，贝yx 4 + 6 x 2 + x +12=(x 2 + ax + 4)( x 2 + bx + 3)=x4 + (a + b)x3 + (3 + 4 + ab)x2 + (3a + 4b)x +12，*.* x4 + 6x2 + x +12与 x4 + (a + b)x3 + (3 + 4 + ab)x2 + (3a 4b)x +12 是同一个多 项式，所以其对对应项系数分别相等.即有由、解得，a=1，b=1，代入，等式成立.a=1，另个因式为x2 + x + 3 .点拨：这种方法称为待定系数法，
15、是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因 式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视【易错例题分析】例 9 分解因式：5a2b2 + 23aby -10y2.错解：J -10 = 5X(-2), 5 = 1X5,5X5 + 1X( 2) = 23,原式= (5a+5y)( 2a+5y).警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.正解：J 5 = 1X5，10 = 5X( 2)，5X5 + 1X( 2) = 23.原式= (a+5y)(5a一2y).【同步练习】一、选择题1. 如果 x2 - px + q 二(x + a)(x + b)，那么 p 等于()A. abB. abC.abD.(ab)2. 如果 x2 + (a + b) x + 5b 二 x2 - x - 30，贝y b 为()
