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1、得分评卷人一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分， 共 20 分) 在每小 题列出的 四个备 选项 中只有 一个 是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。1. n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是().(A) A 是实对称阵;(B) A有n个互异特征值;(C) A 有 n 个线性无关的特征向量 ;(D) A 的特征向量两两正交.2. 二次型 f = x2 + 100x2 + x2 + 2xx -xx + x x 是().1 2 3 1 2 1 3 2 3(A) 正定的;(B) 负定的;(C) 半正定的;(D) 不定的.3. n阶方阵A满足A2 =
2、0 , E是n阶单位阵，则().(A) |E - A 丰 0，但 |E + A| = 0 ;(B) |E - A| = 0，但 E + A| 丰 0 ;(C) |E - A| = 0，且 E + A = 0 ;(D) |E - A| 主 0，且 |E + A| 主 0. 0100、4. 设矩阵4 = 0010 ,则A3的秩为().0001J0000丿A. 2; B. 3; C. 1; D. 4.5. 设向量组a ,a ,a线性无关，则下列向量组线性相关的是()123A. a -a ,a -a ,a -a . B. a +a ,a +a ,a+a .1 2 2331122331C. a - 2a
3、 ,a -2a ,a - 2a .D. a + 2a ,a + 2a ,a + 2a .1 2 2331122331(2 -1 -1(10 0 6.设矩阵 A =一 1 2 一 1, B =0 1 0，则A与B ()1 -1 2 丿、0 0 0丿A.合同且相似；B.合同但不相似；C.不合同但相似；D.既不合同乂不相似7.设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )0 1 00 1 00 1 00 1 A.1 0 0; B.1 0 1; C.1 0 0;D.1 0 01 0 10 0 10 1 10 0 18. 设a
4、,a ,a均为3维列向量，记矩阵A二（a ,a ,a ）,1 2 3 1 2 3B =（a+a+a,a+ 2a+ 4a,a+ 3a+ 9a）, 若|A| =1 ,贝UB =12312312311（） .A. 0; B. 1;C. 2; D. 3.9. n阶矩阵M的秩r = n的充分必要条件是M中（）A.有一个r阶子式不等于零；B.所有的r阶子式都不等于零；C. 所有的r +1阶子式都不等于零；D. 有一个r阶子式不等于零，且所有r +1阶子式都等于零.10. 如果九是n阶矩阵A的特征值，那么必有（）.B. A 九 E 丰 0 ;C. A一九 E = 0 ;D. A一九 E 主 0.得分评卷人二
5、 、 填空题 （本大 题共 10 小 题，每 小题 3 分，共30 分）请在 每小 题 的空 格中填 上正确 答案 。错 填、 不填均无分。11.排列 1 3 (2n 1)2 42n的逆序数为12. a = (2k, k 1,0,3)与 a12=(5, 3, k, k +1)正交，则 k=.13设A是n阶方阵，九为实:数，则行列式卜a| =.1002114.设非齐次线性方程组Ax = b的增广矩阵为01012，则100123 J该方程组的通解为.1 2 1、15. 矩阵34- 2的逆矩阵为I5 -4 1 丿2 1 0_16. 设矩阵 A = 1 2 0，矩阵 B 满足 ABA* = 2BA*
6、+ E，则 B| =0 0 11 017.若0是3阶矩阵A= 0 200、0的一个特征值，则x =.x丿18.设 a 主 0, b 主 0, i 二 1,2,3,矩阵 A =ababab i i121 3a baba b2 1222 3k a b31ab32a b )33，则 R( A) =.19.四阶行列式中含有因子a a的项为.11 23ii20.向量组(A): a , a,., a与向量组(B): p , p，,p等价，且向量组(A)线1 2 r 1 2 s性无关，则r与s的大小关系是.得分评卷人三 、 证明题 (本大 题共 2 小题， 每小 题 10 分，共 计 20 分 )21.已知
7、A二aaT + ppt，a t为a的转置，p t为p的转置.(1)证R(A) 2 ； (2)若a, p 线性相关，则R(A) 2. 证明：22. 设向量组 p , p ,p ,p 线性无关,且1234a = B-B -P -P , a =-B+B -P -P ,1 1 2 3 4 2 1 2 3 4a 二_P_P + P - P , a 二_P_P - P + P3 1 2 3 4 4 1 2 3 4证明向量组a ,a ,a ,a线性无关.1234证明：得分评卷人四 、 求解题 （本大 题共 3 小题， 每小 题 10 分，共30 分 ）-1223.设矩阵A =-141a否可相似对角化.解：-
8、3-3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是524问九取何值时，非齐次线性方程组入x + x + x =1v x 4Xx2+x3 =Xx + x *Ax3 =九2 J 123(1) 有唯一解；(2) 无解；(3) 有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解.解：25.设有齐次线性方程组” (1 + a)x + x + + x = 0,12n2 x + (2 + a) x + + 2 x = 0, 2)nx + nx hf (n + a)x = 0,12n试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解：得分评卷人或未选均无分。1 C;2A;3D;4D;5. A;7D;8C9. D;
9、 10.A .得分评卷人6B;二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。n(n -1)22(1 312-;3. nA ;4. x 二 c+5-23 1丿 0丿2-, c 为常数。(-21310115.3:6. :7. 0 :229L-167-1J8.L;9. -a a a a , a a a a .10.11 23 32 4411 23 34 422009至2010第r学期 课程名称 线性代数试卷A（标准答案）专业：全校修线性代数的各专业考试性质：闭卷 考试时间120分钟题号四五六总分分数说明：在本卷中，At表示矩阵A的转置矩
10、阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，A表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共 20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。错选、多选得分评卷人分）证明 题（ 本大题共 2 小题 ，每小题 10 分，共 计 2021.已知A二aaT + ppT , a T为a的转置，0 T为0的转置.(1)求证R(A) 2 ； (2)若a, 0线性相关，则R(A) 2.(1)R(A)二 R(aar + 00 t )(1 分) R(aat ) + R(00 t )(1 分) R(a) + R(0)(1 分
11、) 2(1 分)所以 R(A) 2 (1 分)。 由于a, 0线性相关，不妨设a = k0(2分).于是R(A) = R(aat + 00 r ) = R( + k2 %0 t )(1 分)=R(00 t ) R(0 ) 1 2(1 分)即 R(A) 2 (1 分)。2 2、设向量组0 , 0 , 0 , 0 线性无关,且1234一0 +0 -0 -0 ,2 1 2 3 4a =00 -0 +04-a =0 -0 -0 -0 , a11234234a = -0 - 0 + 0 - 0 ,3123证明向量组a j a 2 3,4线性无关.证明：a , a , a , a123231-1-1-1-
12、11-1-1-1-11-1-1-1-112分1-1-1-1-11-1-1-1-11-1-1-1-11IP丰0, P可逆设P二,a ,a ,a pt ,1234即0 , 0 , 0 , 0可由a ,a ,a ,a线性表示,1 2 3 4 1 2 3 4向量组a ,a , a ,a与0 ,0 ,0 ,0等价.1 2 3 4 1 2 3 4由等价的向量组秩相等所以a ,a ,a ,a线性无关.1 2 3 42分2分2分得分评卷人四、求解题（本大题共 3小题，每小题 10 分，共 30分）1 223.设矩阵A = -1 41 a-3-3的特征方程有一个二重根，求“的值，并讨论A是否可相似对角化.X-1- 23X-2-（X-2）0XE A =1 X 43=1X-43-1-a X-5-1-aX-5解：A的特征多项式为（九一2） 1 九一4-1- a3=（九2）（X2 - 8九 +18 + 3a）. （2 分）九一5（1）当九二2是特征方程的二重根，则有22 -16 +18 + 3a = 0,解得a= -2（2分）.1 -2当a= -2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A= 1- 2-1 233的秩为1,故X 2对-3应的线性无
