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1、第一章乘法公式、指數基本運算與多項式乘法公式、指數基本運算與多項式壹、本節重點1. 乘法公式：(1) (a+b)2=a2+2ab+b2(2) (a- b)2 =a2- 2ab+b2(3) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(4) (a+b)(a- b)=a2- b2(5) (a+b)(a2- ab+b2)=a3+b3(6) (a- b)(a2+ab+b2)=a3- b3(7) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3= a3+b3+3ab(a+b)(8) (a- b)3=a3- 3a2b+3ab2- b3= a3- b3- 3ab(a- b)(9) (x+a)(x+
2、b)=x2+(a+b)x+ab(10) (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd( 1 1 )(a+b+c)(a2+b2+c2- ab- bc- ca)=a3+b3+c3- 3abc2. 指數律：(1)amxan=am+n(2)amman=am- n-a 丰 0(3)(am)n=amxn(4)(ab)n=anbn(7) a _n = -a 丰 0an f a 丫 二 an-b 丰 o b 丿bn(8)an = na -a0(6)a$ 0na0=1 a： = n-a7-a03. 求值公式：型一已知 a+b 和 ab 之值：(1)a2+b2=(a+b)2- 2ab(2) a3+b3=(a+b)
3、3- 3ab(a+b)(3) a4+b4=(a2+b2)2- 2a2b2(4) (a- b)2=(a+b)2- 4ab型二已知 a-b 和 ab 之值：(1)a2+b2=(a- b)2+2ab(2) a3- b3=(a- b)3+3ab(a- b)(3) (a+b)2=(a- b)2+4ab型三分式型，已知x +丄或x -丄之值：X(2)x2 + 丄=X2(1)X2 + 丄=X2(3)2(4)1r 1)3r 1)+二X + -3X + X3V X丿V X丿-4(1) X + I X丿(1)X _ I X丿(5)X3(1 3(1 X -+3X -VX丿VX丿+ 4(1)X -I X丿(6)x3
4、-丄二X3即直角三角形兩股長的平方和等於斜邊的平方。常見的直角三角形三邊長：4. 商高定理(畢氏定理):AABC中，ZC=90o，則 祀+航=丽2 ,A(1) 四類型： (3, 4, 5)、 (5, 12, 13)、 (7, 24, 25)、 (8, 15, 17)。(2) 將五類型的三邊按一定比例放大或縮小也可成為直角三角形。例：(3,4, 5)t(6 , 8 , 10)t(9 , 12 , 15)t5. 坐標平面上兩點間的距離及中點坐標求法：設坐標平面上相異兩點A(X , y B(x2 , y2) , O為原點，則：-x J2 +(y - y J22 1 2/ X + xy + y、12
5、, 12I22丿(1) AB 二&* 1(2) ab中點M的坐標為6. 多項式的基本概念：(1) 多項式的判別： 多項式為一有限項的代數式之和，且未知數不可在 分母根號內絕對值內指數上。(2) 多項式的次數： 單一文字以最高次項之次數為其次數。 多文字一以各項次數和最高者為其次數。 例：x3-2x4-7x+5為x的四次多項式。x4-4x2y3-x2y4+3y5-9為x、y的六次多項式。(3) 升羃排列：將文字之次數由左而右，由小而大排列。 降羃排列：將文字之次數由左而右，由大而小排列。(4) 常數多項式：不含文字的多項式。 零次多項式：除常數項H0外，其餘各項係數皆為0。 零多項式：各項係數皆
6、為0。無次數可言。(5) 多項式的值：多項式f(x)中，若x以某一數(式)代入，所得結果即為其值。7. 多項式的加減法：(1)法則：將同類項的係數相加(減)，不是同類項無法合併，以加(減) 號連接。(2) 設A、B表兩多項式，其次數分別為m、n ,則： 若m nnAB為m次多項式。 若m v nnAB為n次多項式。 若m=nnAB其次數不大於m或無次數可言。(3)若 ax2+bx+c=px2+qx+rna=p，b=q，c=r。8. 多項式的乘法：(1)法則：運用分配律及指數律和乘法公式。分離係數法(依降羃排列，缺項補0)設A、B表兩多項式，其次數分別為nx nnAxB之次數為m+no(3) 設
7、A、B、C三多項式之係數和分別為S1. S2、S3 ,若AxB=C ,JLZ/O則 S1xS2=S3o(4) 第xp項係數的求法：所有 xaxxb=xp 中之係數乘積之和， 即為xp項之係數。9. 多項式的除法：(1) 法則：長除法；分離係數法(依降羃排列，缺項補0)(2) 設A、B表兩多項式，其次數分別為m、n(mM n),則：A除以B之次數為m-no餘式的次數必小於除式的次數。(3) 除法關係式：設A、B表兩多項式且A除以B，商為Q，餘式為R。則：A=BQ+Ro A = Q + R oBB若A=BQ+R，則： aA=BxaQ+ar ；即被除式變a倍，而除式不變，則商變a倍，餘式變a倍。 A
8、=aBxQ+R ;a即被除式不變，而除式變a倍，則商變1倍，餘式不變。a10. 餘式定理：(1)f(x)除以(x-k)的餘式是f(k)；若f(x)能被(x-k)整除，則f(k)=0o f(x)除以(ax+b)的餘式為f(- b)oa貳、例題例1求下列各式的值：（1）（32丄）2-（28丄）2（2532 -辰44解： 【答： （1）242；（2）28】答： 2】例 2求 19992- 2x19982+19972 之值。解：例 3設 a+b=5、ab=3 ,求(1)a2+b2 (2)a- b (3)3a2+4ab+3b2 (4)a3+b3 之值。【答：(1)19 (2)土币 (3)69 (4)80
9、】解：例 4在 ABC 中，bc x+2 , CA =2x-3 , aB =3x-7，若周長為 16 ,求厶ABC的面積。【答：12平方單位】解：例5(1)已知A(-2 , 6) , B(4 , -2)兩點，求AB的長。(2)坐標平面上 A(2，-1)，B(a，3)，若 AB=5，求 a。解：【答： (1)10 (2)5 或-1】例 6若 f(x)=3x3+mx2- nx+4，且 f(-1)= -1，f(2)=2，求 m、n 的值。解：【答： m=-5， n=3】例7.有一數學題目：二多項式 A、B，B 為 6x3+5x2+7x- 3，試求 A-B。小山誤將A-B看成A+B，結果求出答案是3x
10、2-5x+9j , 請問A-B的正確答案是多少？ 【答：-12x3+13x2-19x+15】解：例&若多項式2x3+3x2+kx- 3與(2x+3)(ax2+b)相等，其中a、b、k為 常數，求k的值。【答：-2】解：例 9設 f(x)為一多項式，且 4x2 + 3x-1 二 2x +1 - 3 ，求 f(x)。 f(x)f(x)解：答： 2x2- x+2】例10多項式A被x-1除，得餘式為1，求多項式A與(x+1)的乘積被(x-1)除所得的餘式。解：例11利用公式(X)2=X22 土丄，求下列各數：xx 2(1)：51丄79-【答:4981答： 2】78|】解：參、習題1求下列各式的值：(1
11、)1998x2002(2)(1006-11)2-(1001-16)2解：2求 10012+9992-2x1002x998 之值。解：3設 a-b=7 , ab=1，求(1)a2+b2 (2)a+b (3)a2-b2 (4)a3-b3 之值。解：4.若直角三角形的兩股和為23公分，斜邊長為17 公分，求三角形的 面積。解：5坐標平面上兩點A(-5 , 6) , C(1 , -2)，若A、C為長方形ABCD 的兩個頂點，且AB平行x軸，AD平行y軸，求長方形ABCD的 對角線長。解：6設 f(x)=x2+ax-b , 3f(2)-4f(l)=7 , f(3)=5，求 a+b 的值。解：7兩多項式A
12、、B，已知B為2x+l，欲求A+B，但小晴將A+B看成AmB，得結果是4x2- 2x+1，求A+B之正確答案。解：8若 2x2+3x+7=a(x+l)(x- l)+b(x+2)(x-2)+(x+2)(x+l)，求 a+b 的值。解：9設f(x)=x3+ax2+bx+5能被x+1整除，且被x-2除，所得餘式為-9， 求(l)f(x)f(x)除以(2x-1)的餘式。解：10若f(x)被x+2除餘3 ,被x-3除餘4,求f(x)除以(x+2)(x- 3)的餘式。解：11利用公式(x1)2=x22土丄，求下列各數：xx2(1) 83丄(2) .119 丄81 121解：肆、習題簡答1(1)399996 (2)198002.103.(1)51 ；土丙土 7月(4)364460平方公分5.10607 8x3+2x+2&19(1)f(x)=x3- 5x2- x+52710. !x+1711(1)9丄(2)1010855911
