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1、1234567891011121314151617平面几何基础知识（基本定理、基本性质）勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（1）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边 和另一边在这边上的射影乘积的两倍 （2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边 在这边上的射影乘积的两倍射影定理（欧几里得定理）中线定理（巴布斯定理）设AABC的边BC的中点为P,则有AB2 + AC2 = 2（AP2 + BP2）；中线长：垂线定理：AB 丄 CDAC 2 AD 2 = BC 2 BD 2.2be高线长：h =p（p 一 a）（p 一 b）（p 一 e） = s
2、in A = e sin B = b sin C .a aa角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如AABC中，AD平分ZBAC,则BD = AB；（外角平分线定理）.DC AC2 2bcA角平分线长：t =bep（p a） = cos （其中P为周长一半）.a b + eb + e 2abe正弦定理： 一=-=2R ,（其中R为三角形外接圆半径）.sin A sin B sin C余弦定理：e2 = a2 + b2 一 2ab cos C .张角定理. sin 乙BAC _ sin ZBAD sin 乙DACAD ACAB斯特瓦尔特（Stewart）定
3、理：设已知AABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB2DC+AC2BDAD2BC= BC DC BD.圆周角定理：同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半（圆外角如何转化？） 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC丄BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延 长线必平分对边点到圆的幕：设P为。O所在平面上任意一点，PO=d，O的半径为r，则d2-r2就是点P对于。O的幕过P 任作一直线与。O交于点A、B，则PAPB= Id2-r2|. “到两圆等幕的
4、点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线， 如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根 轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相 交时，三条公共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即ACBD=ABCD+ADBC，（逆命题成 立）.（广义托勒密定理）ABCD+AD.BCACBD.蝴蝶定理：AB是。O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM. 费马点：定理1等边三角形外接
5、圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角 形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理2 三角形每一内角都小于120时，在三 角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有 一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点18. 拿破仑三角形：在任意AABC的外侧，分别作等边ABD、BCE、MAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE = BF=CD，这个命题称为拿破仑定理. 以ABC的三条边分别向外作等边ABD.ABCE.CAF，它们的外接 圆。q、0A、OBi的圆心构成的外拿破仑的三角形，0
6、C、0A、0B三圆共点，外拿破仑三角形是 一个等边三角形；AABC的三条边分别向ABC的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2A2、ob2的圆心构成的 内拿破仑三角形，0C2、0A2、ob2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三 角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心.19. 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以 及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点
7、;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理.20. 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上.21. 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R22Rr.22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.23.重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2： 1的两部分；G（Xa + S + XC ,乙+ yB +乙）33重心性质：（1）设G 为 ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则AG : GD = 2:1 ；1
8、（2） 设G为ABC的重心，则S= S = S = S ；AABGABCGACG 3 AABC（3）设G为ABC的重心，过G作DEBC交AB于D，交AC于E，过G作PFAC交AB于P，交BC2；匹+FP + KH = 2.3 BC CA ABDE FP KH于f，过g作心交AC于k，交B于日，则衣=ca =乔（4）设G 为 ABC的重心，则 BC2 + 3GA2 = CA2 + 3GB 2 = AB 2 + 3GC 2 ；1 GA2 + GB2 + GC2 = （AB2 + BC2 + CA2）； PA2 + PB2 + PC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3pG2 （p 为厶 a
9、bc 内任意一点）； 到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA2 + GB2 + GC2最小； 三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为厶ABC的重心）.abcy + y + ycos A A cos B B cos C Cabc+ +cos A cos B cos Cabcx +x +x24.垂心：三角形的三条高线的交点；h (cos A A cos B B cos C C abc+ +cos A cos B cos C垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2倍；（2）垂心H关于 ABC的三边的对称点，均在 ABC的外接
10、圆上；（3） ABC的垂心为日，则厶ABC， ABH， BCH， ACH的外接圆是等圆；（4）设0, H分别为 ABC的外心和垂心，则BA = ZHAC,上CBO = /ABH,上BCO = /HCA . 25. 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；ax + bx + cx ay + by + cyI （A B C , A B C）a +b+c a +b + c内心性质：（1）设I为 ABC的内心，则I到厶ABC三边的距离相等，反之亦然;(2) 设 IABC 的内心，则 ZBIC = 90 + - ZA,ZAIC = 90 + ZB,ZAIB = 90 + -
11、ZC ；222(3) 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若ZA平分线交厶ABC 外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为厶ABC的内心；(4) 设I 如 ABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ZA平分线交BC于，交厶ABC外接圆于点K，则 AIAK IK b + cID KI KD a(5) 设I为ABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, i在BCAC,AB上的射影分别为DE,F，内切圆半径为r，令 p =丄(a + b + c)，则 S= pr : AE = AF = p a; BD = B
12、F = p b; CE = CD = p c；2A ABCabcr = p - AI - BI - CI26外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等sin2Ax + sin 2Bx + sin 2Cx sin2Ay + sin 2By + sin 2CyO(ABC ,ABC )sin2A+sin2B + sin 2Csin 2A + sin 2B + sin 2C27外心性质：(1)外心到三角形各顶点距离相等；(2) 设 O 为 ABC 的外心，则 ZBOC = 2ZA 或 ZBOC = 360 2ZA ；(3) r =； (4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等
13、于其内切圆与外接圆半径之和.4 S A旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设1p = 2(a + b + c)，分别与BC，Ac，AB外侧相切的旁切圆圆心记为1 ,i 一，其半径分别记为r ABC 的三边 BC = a, AC = b, AB = c,令, r , r ABC旁心性质：(1)11ZB/ C = 90 - ZA, ZB/ C = ZB/ C =入厶，(对于顶角B，C也有类似的式子);A2BC 22)ZI I IA B C1=才厶+ zc)；3)设AI的连线交厶ABC的外接圆于D,则DI = DB = DC (对于BI，CI有同样的结论);AAB C28 ABC是 1丿
14、0的垂足三角形，且 I丿0的外接圆半径R等于 ABC的直径为2R.A B CA B C11abc三角形面积公式：S = ah = ab sin C = 2R2 sin A sin B sin C =一-aabc2a 24 R4(cot A + cot B + cot C)4)=pr = , p(p a)(p b)(p c),其中ha表示BC边上的咼，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p =丄(a + b + c)- a 229三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：A B CA BCABCABCcoscos , r = 4R cos sincos, r = 4R coscossin;22b222c222r = 4R sinsin sin ; r = 4R sin222 a2r =atanr,rB C b tan22r,rAC ctan tan22rAtan tan21111； + + = B r r r rabc230梅涅劳斯Menelaus)分别为 P、Q、R 则有定理：设厶ABC的三边BC、CA、BP CQ ARPC - QA - RB = 1 -(逆定理也成立)AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点31
