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1、降落伞选购摘要为了及时有效向灾区输送救灾物资，欲将2000kg救灾物资从500米高空空投 向灾区，确保物资安全到达地面要求降落伞落地时最高速度不能超过20m/s,同时 节约成本，对不同规格的降落伞进行最优化组合选购，达到选购成本最低。首先为了方便对降落伞进行受力分析，该模型将降落伞及其负载物看做一个 整体，忽略伞面和绳索的质量，并且降落伞只受竖直方向上的重力和空气阻力作 用，通过建立降落高度与时间之间的函数关系，然后利用Matlab软件求解出降落 高度关于时间的微分方程，进而以降落伞离地高度关于时间的函数为拟合函数， 结合题目中所给高度时间相关数据进行拟合得出空气阻力系数 k 的值。（k 二
2、2.9377 ）。其次利用matlab软件求解出降落高度关于时间的二阶导数即加速度关于时间 的方程，然后利用matlab绘制出加速度与时间的函数关系图像，进而分析降落伞 的速度变化规律，可以看出降落伞的降落过程是做加速度减小的加速运动，而降 落的后期阶段加速度趋近于 0 并保持在该状态，此时速度达到最大，且降落伞做 近似匀速运动，降落伞重力等于阻力，再根据质量与速度之间的关系即速度最大 时质量达到最大，可进一步求得不同规格降落伞对应的最大载重量。降落伞的单价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成，可确定不同规 格降落伞的综合单价，进而进行合理组合选购。最后以不同规格降落伞组合选购的总费用最小
3、为目标函数，并以空投的总质 量M 2000kg及不同规格降落伞的最大承载量为约束条件建立线性规划模型。利用 lingo 软件进行非线性规划求解得出（在货物能够任意连续分割情况下）需要购买 半径为3m的降落伞6个，且使得费用最小为4929.158元。关键词: 微分方程 Matlab 拟合 空气阻力系数 线性规划模型 lingo、问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不 同分为半径为 2m、2.5m、3m、3.5m、4m 五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳 索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞均是半径r的球形，并且用长为L的 16 跟绳索连接重物，重物位于球心
4、正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受 到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度 和伞的面积成正比。其阻力系数可由用半径为3m，载重300kg的降落伞从500m高 度处所做的降落实验得出的数据确定,得出各个时刻的高度实验数据。表1r (m)22.533.54费用（元）651703506601000表2llt(s)036912151821242730咼度h (m)500470425372317264215160108551试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大在表 1 中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。二、模型假设1、空投货
5、物瞬间降落伞已打开；2、降落伞和绳子的质量忽略不计；3、降落伞在降落过程中只受重力和竖直向上的空气阻力4、空气阻力系数只与空气有关；5、空投物资可以任意分割；6、以地面为参照物。三、符号说明符号描述单位f空气阻力Nk空气阻力系数常数Sr半径为r的降落伞的面积m 2Cr半径为r的降落伞伞面费用元CL半径为r的绳索的费用元C5固定费用元mi质量为i的货物kgWi第i种降落伞的综合费用元h降落伞距离地面的高度mH降落伞降落的高度m四、问题分析本文主要考虑在货物可以任意分割，不考虑其他外界次要因素对降落伞的影 响条件下，使购买费用最低。由题中要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s,降 落伞降落受货物
6、自重与空气阻力系数的影响。因此，可以建立一个高度与时间的 物理模型。根据题中所给的高度与时间数据，运用 Matlab 软件首先求出空气阻力 系数k,系统在下降过程中做加速度减小的加速运动，直到所受阻力等于自身重力， 加速度为0,速度达到最大，即mg=fsv进一步求出不同半径降落伞所对应的最大 承载量m = fSrVmax，再由题意知绳索长度与半径间关系即L 耳r，可以求得不 同半径所对应的绳索费用C，且已知伞面费用由半径决定，并已知固定费用C。图r5 降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。最后以总费用为目 标函数，以空投的总质量M 2000kg及不同规格降落伞的最大承载量为约束
7、条件建 立线性规划模型，利用 lingo 软件，合理选择降落伞规格并求总费用的最小值。图1五、模型的建立与求解T1 确定空气阻力系数 k：由模型假设可知降落伞在降落过程中只受竖直方向上的重力和空气阻力，且已知 空气阻力与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。即f = kvs .。F合二 mg ksvF = m a 合得：a二住二m g ksvmm且：dvd Ha =-dtd2td 2 H mg 一 ksv dt 2m得到：h I = 500(t) t=0v I = 0(t) t=0利用Matlab解微分方程得：(详细程序见附录1)=mgt m 2 g-H =+ e m 一(t)ks k 2s2k
8、 2s2由题意得：h = 500-H = 500-四一空e嘗+空(t)(t)ks k 2s2k 2s2根据题中表2所给数据，以h为拟合函数进行拟合(详细程序参见附录2)(t)由 r = 3 , m = 300 , g = 9.8 , S = 2兀r 2得到：k = 2.9377.利用Matlab对函数h进行非线性最小二乘拟合图像如下：(t)图3由图像可以看出数据分布基本在线上，说明了拟合效果很好， k 值合理。2求不同规格降落伞最大承载量 m：利用Matlab软件对降落高度H(t)求二阶导数得到加速度关于时间的函数:kst. . a二gs4e m (详细程序参见附录3)。 利用Matlab绘制
9、加速度与时间的函数图像如下： H ffl 氏食Q聋色、豆 B 0-4-F;图4由图像看出降落后期阶段加速度趋近于 0，即后阶段降落伞下降近似匀速运动，速度达到最大，此时所受合力为0即F二mg -ksv =0, mg = ksv ,有m = kSV .由函 合g数性质可知， m 是关于 v 的增函数，当速度达到最大时，对应的空投质量也最大所以当v=20m/s时可求得不同半径伞的最大承重量：m = kSVmxig每种不同半径规格降落伞的最大承载量对应如下：表3r (m )22.533.54s (m 2 )25.1239.2556.5276.93100.48m (kg)150.6021235.315
10、8338.8547461.2189602.40843、不同半径对应的绳长：由题意可知绳索长L =41r，可得不同半径降落伞所用绳索长度如下:表4r (m )22.533.54L (m)2.82843.53554.24264.94975.65694不同规格降落伞综合单价：由题意可知每种规格降落伞的综合单价：W二C +C +C rL5则每种不同规格降落伞综合单价如下表表5r (m )22.533.54Cr651703506601000CL181.017226.272271.5264316.7808362.0416C5200200200200200Wi443.017596.272821.526421
11、176.78081562.04165 建立线性规划模型：以不同规格降落伞组合选购的总费用最小为目标函数，以空投的总质量M 2000kg 及不同规格降落伞的最大承载量为约束条件建立如下规划模型：Min= Wx + W x + W x + W x + W x1 1 2 2 3 3 4 4 5 5约束条件为：xm + x m + x m + x m + x m 20001122334455m 150.60211m 235.3158 2m 338.85473m 461.21894m H=dsolve (? m*D2H+k*S*DH=m*g? J 11(0=0, DH(0)=0? J t)g/k2/S2
12、*血2*熬p(-k*S/m*t)+g/kS*m*t-1/k2/S2*g附录利用Matlab拟合解得：建立一个名为myfunl的文件function F=myfun1(x,xdata)s=2 *pi* 32m=300;g=9.8;F=500-m2 *g/(x(l厂2 *s2) *exp(-x(l) *s* xda ta/m)-m *g* xda ta/(x(l) *s)+m2 *g /(x(l厂2 *s2);在 matlab command window 中输入下列命令： xdata=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30; ydata=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 ;x0=5; x=lsqcurvefit(myfun1,x0,xdata,ydata) 结果为：Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.x =2.9377附录( 3) sy
