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1、课时达标训练(四)三角形中的几何计算即时达标对点练题组1三角形中的几何计算1(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A.B.C. D.解析：选CSabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.C(0，)，C.2在ABC中，已知A30，a8，b8，则ABC的面积为()A32B16C32或16 D32或16解析：选D在ABC中，由正弦定理，得sin B，又ba，B60或120.当B60时，C180306090，SABC8832；当B120时，C1803012030，SABCabsin C8816.3在ABC中，A60，AB2，
2、且ABC的面积SABC，则边BC的长为()A.B3C.D7解析：选ASABCABACsin A，AC1.由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos A41221cos 603.即BC.4在ABC中，已知A60，ABAC85，面积为10，则其周长为_解析：设AB8k，AC5k，k0，SABCABACsin A10k210，k1，AB8，AC 5.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A825228549，BC7，ABC的周长为ABBCAC20.答案：205在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足c2，ccos B(b2a)cos C0.(1)求角C的大小；(2)求
3、ABC面积的最大值解：(1)由正弦定理及题意，得sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0.ABC，sin(BC)sin A，sin A2sin Acos C0.sin A0，cos C.C(0，)，C.(2)由正弦定理，得4，a4sin A，b4sin B又AB，BA.ABC的面积Sabsin C4sin Asin B4sin Asin2sin.当A时，S有最大值，且Smax3.6在ABC中，若B30，AB2，AC2，求ABC的面积解：AB2，AC2，B30，根据正弦定理，有sin C，又ABAC，CB，则C有两解(1)当C为锐角时，C60，A90，SABCABAC2.
4、(2)当C为钝角时，C120，A30，SABCABACsin A.综上可知，ABC的面积为2或.题组2三角形中的恒等式证明问题7在ABC中，求证：.证明：法一：左边右边，其中R为ABC外接圆的半径.法二：左边右边，(cos C0).8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：c.证明：左边.右边c，所以左边右边，故原等式成立题组3三角形中的综合问题9已知ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C，求的取值范围解：由正弦定理及已知条件，得a2b2c2ab，cos C，C.由正弦定理，得(sin Asin B)又AB，BA，si
5、n Asin Bsin Asinsin.0A，A，sin Asin B，即的取值范围为.10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足Sc2(ab)2，ab2，求S的最大值解：由Sabsin C，Sc2(ab)2(a2b2c2)2ab2abcos C2ab，得absin C2abcos C2ab，即sin C4(1cos C)又sin2Ccos2C1，解得cos C或cos C1(舍去)，从而sin C，所以Sabsin Caba(2a)(a1)2.由于ab2，所以0aA，ACBC.则有SACDSBCD32，.由正弦定理，又B2A，.，cos A.4在ABC中 ，SAB
6、C(a2b2c2)，b1，a，则c_解析：SABCabsin C，absin C(a2b2c2)即a2b2c22absin C.由余弦定理得2abcos C2absin C，tan C1，C45.由余弦定理得c1.答案：15(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_解析：bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，
7、SABCbcsin A.答案：6在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos A，tan B3.(1)求角C的值；(2)若a4，求ABC的面积解：(1)由cos A得sin A，tan A2.ABC，tan Ctan(AB)1，又0C，C.(2)由正弦定理可得，c a，由tan B3得sin B，ABC的面积Sacsin B6.7在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面积解：(1)由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以，即sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B，即有sin(AB)2sin(BC)，即sin C2sin A，所以2.(2)由(1)知，2，即c2a，又因为b2，所以由余弦定理得，b2c2a22accos B，即224a2a22a2a，解得a1，所以c2.又因为cos B，所以sin B.故ABC的面积为acsin B126
