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1、数项级数收敛性判别法作 者：XXX指导老师：何一农摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，在参考文献1的基础上 新增了一些命题和应用，从而得到一般的解题思路.关键词：数项级数；收敛性；判别法；归纳总结；解题思路0引言数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要内容.本文对数项级数敛 散性的判别法做了一个较全面的讨论，主要讨论了正项级数、交错级数和 绝对收敛级数.其中正项级数收敛性判别法主要有比较原则、比式判别法、 根式判别法、拉贝判别法、积分判别法和对数判别法等而构造高精度正 项级数收敛性判别法，实质是找到一个收敛速度足够慢的正项级数但值 得注意的是这个”精确化”的过程是没有尽头的，因为
2、杜布洼雷知恩 曾证明，任何收敛的正项级数，都有比它收敛得更”快”的级数存在还 有人证明：任何发散的正项级数也有比它发散得更”慢”的级数存在这 说明没有收敛的最快的级数，也没用发散的最慢的级数，所以要想建立一 种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的本文就这一问题进行了 深入研究，提出了不断提高精度的判别方法.一般项级数中主要讨论了交错级数和绝对收敛级数，本文归纳总结了 它们常见的性质及应用从而丰富了数项级数收敛性的判别方法.1数项级数相关概念1.1数项级数及定义定义1给定一个数列u ，对它的各项依次用” + ”号连接起来的表n达式u + u + u + + u + （1）称为数项级数或无穷级
3、数（也常简称3级数）/其中u称为级数（1）的第n项 n或通项.数项级数（1）也常写作：S u或简单写作Snn = 1数项级数（1）的前n项的和为S，即S = u + u + u或S =S u nn12nnkk =1称为级数的n项部分和.定义2若数项级数（1）的部分和数列$ 收敛于S （即lim S = S），nnn t则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作S二u + u + u + u +或S = Z u ；若5 是发散数列，则称数项级数（1）123nnn发散.a )二乙 an - n +1nn =1n = 1)的前n项和S 则n例1设送a收敛，lim na = 0 证明：为n
4、 (ann = 1证记级数为n(a an - n +1n =1S = (a a ) + 2(a a ) + + n(a a ) = a + a + + a nan1223nn +112nn + 1=S a (n + 1) a kn +1从而k =1lim S = lim (S a (n + 1) a ) = S a lim (n + 1) a =乙nkn +1nn + 1nnnk =1n =1n (a a ) = S an - n +1nn =1n = 11.2数项级数敛散性判别的充要条件收敛的充要条件:发散的充要条件:定理（级数收敛的柯西准则） 级数（1）V 0, 3n e N，当 m n（
5、m e N ）日寸，只寸 Vp e N 有:|u+ u + . + u 0, Vn e N， 3m ( N) o00u + u + um 0 +1 m 0 + 2m 0 + P 0由定理立即可以得出如下推论，它是级数收敛的一个必要而非充分条件.推论若级数（1）收敛，则Hm u = 0 nn f g注：在实际应用中，我们常常先考虑推论的逆否命题从而来判断该级 数是否发散.设正项级数f a发散,nn 二 1其前n项和记为S ，n试证级数为佯也是n =1发散的.nFp乙aakk k 一 pl 1k 一 n +1SnSn + p因为 lim S - +g，故对 V n e N，nn f g当p e N
6、充分大时有二 1，从而S 2n + p所以级数为佯发散.n =1命题设数项级数Y u的部分和数列为S，lim u - 0，则nnnn f g1)右 lim S 一 S 或 lim S 一 S，贝Ulim S = E u = S ；2 n2 n 1nnn f gn f gn f g2)设V : (u + u ) + (u123V : u + u + u + u + + u + u + ，21432 n2 n 1则a)若(V)收敛于s ,则E u - S ;nb）若（V）收敛于S，则E u - S -n例3讨论级数12 p 11 1+ . +3 p + 1n p 1的敛散性.解 由于 lim- =
7、 lim -= 0，设n8 n P 1 n8 n P + 1V:(-) + (-) + + (-) + 2 p 1 2 p + 13 p 1 3 p + 1np 1 np + 11 1 1=2 ( + + .+ ) + 22 p 132 p 1n2 p 11 ) _2丿为收敛，故由命题知原级数也收敛.2正项级数2.1正项级数及定义设有数项级数u ，若数项级数各项的符号都相同，称它为 同号级 数其中，若各项均为正数，则称它为正项级数.2.2正项级数敛散性的一般判别原则定理1正项级数工u收敛的充要条件是它的部分和数列s 有上界.nn注：定理1解决了一类级数的收敛问题不必研究lim S = S，只需
8、粗略nn T地估计S当n TS时是否保持有界就可以了，它是判断正项级数敛散性的n最基本方法，几乎所有判别法都是由它导出，但是在具体应用时不大方便.3 N e N +, V n N，有 u cv ，定理2设两个正项级数工u与工v，.nnC是正常数.1）若级数v收敛，则级数也收工u敛;nn2）若级数工u发散，则级数也工v发散.nn推论 设两个正项级数工u与工v，且lim 4 = k （0 k +s ）1）若级数工vn2）若级数工vn例4设f a 2n收敛，且0 k +8， 发散，且收敛，证明：空0 k 0)n ln nn = 2因为anv n ln n1n ln2 n易知:1n ln 2 n收敛（
9、积分判别法），又空a收敛，所以工-（a 2 +2 nn 二 21n ln 2 n收敛.由比较原则知工上n ln nn 二 2(a 0)n总结1）比较原则重在”比较收敛.”，是利用两个正项级数的通项结构来比较必须掌握等比级数，调和级数，p-级数的敛散性，因为比较原则 的比较对象常常就是上述三种级数；2）要证明某一个级数工u收敛，需要找一个通项比,大的收敛的整 形级数工v，即. cv，也就是需要将所求的级数通项级数项放大；nnn3）要证明某一个级数发工u散，需要找一个通项比u小的发散的正nn项级数工v，即cv N，有需 q N，有则级数工u发散n推论若工u为正项级数,n且 lim -n1）当1 i时，级数工u发散.注 由于正项级数的通项的前后两项的比值一般不会直接得出一个常数，所以在判别正项级数的敛散性时常用比式判别法的推论.证明级数为n =1111e (1 + + + + ) 1!2!n!收敛.!因为 0 a = e - (1 + + + ) N，有打 q 1，则级数工u发散.nn推论有正项级数工u，若lim打=l，贝Unnn T81）当1 1时，级数工u收敛；n2）当11时，级数工u发散.n注由于正项级数的通项开n次方根一般不能直接得出一个常数，所以常用根式判别法的推论判别级
