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1、足球生产规划摘 要本文讨论了关于生产与存储的问题，这是一个多阶段决策的生产问题，就此可建立一个动态规划的数学模型利用运筹学和LINGO、Excel、Matlab数学软件的相关知识解决了这一问题，达到生产、需求与存储之间的平衡，以及在资源限制条件下的最优化的生产方案。针对问题一：建立动态规划模型。目标函数是足球生产和存储总成本最小；依据生产、需求与存储之间的关系列出的状态转移方程与生产、存储能力所受的限制共同构成约束条件，得出一个动态规划模型。运用LINGO软件进行求解，得到最优生产计划：今后六个月生产量依次为5000、20000、30000、30000、25000和10000，此时的生产和存储
2、总成本为：$1535562。针对问题二：运用线性规划的方法，借助LINGO软件，计算出存储率以适当步长从5%降低至0的生产计划。再用Excel软件对各个存储成本率下的生产量进行统计、整理，并用Matlab软件对数据进行插值绘图。从图表可得出储存成本率由5%降低至1.3%时，生产计划不变；由1.3%降低至0过程中,第一个月和第五个月生产量先上升后趋于稳定，第二个月的生产量上升趋于稳定下降趋于稳定，第三、四个月的生产量先下降上升趋于稳定，第六个月的生产量先下降后趋于0。针对问题三：随着储存成本率的变化，当总的存储容量达到最高并趋于稳定时，即认为存储容量达到极限。借助问题二求出存储成本率降低时，各个
3、月的存储量数据，再用Excel软件对所得数据作出散点折线图，由图可以得出存储成本率在区间0，0.3%时，存储总容量达到极限：45000，且各个月末的存储量依次为10000、10000、10000、5000、10000和0。关键词：足球 生产计划 动态规划 状态变量 线性规划 LINGO 1. 问题重述某皮革公司预计为今后六个月制定一个足球生产计划，市场调查显示未来六个月预计需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000，相应的每个月足球生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95，持有成本为
4、该月生产单位成本的5%。该公司每个月的最大产量是30,000，扣掉需求后，月底的库存量最多为10,000。不管销售的金额为何，该公司都打算尽可能满足顾客的需求。需解决的问题：（1）问题一：通过建立数学模型，求出在按时满足需求量的条件下使生产与存储总成本最小的生产计划；（2）问题二：随着足球储存成本率的降低，生产计划的变化情况；（3）问题三：求出储存容量达到极限时的储存成本率2.问题分析上述需解决三个问题，其核心是建立一个动态规划模型。在需求量已知，生产量与存储量受限的条件下，解决最优生产计划相关问题。问题一中，其目的是建立数学模型，求出在按时满足需求量的条件下使生产与存储总成本最小的生产计划。
5、由足球的销售金额和这次的生产决策无关，生产过程可划分为六个阶段，阶段变量k=1,2,3,4,5,6.列出状态转移方程：。以足球生产和存储总成本最小为目标函数，依据生产、需求与存储之间的关系列出的状态转移方程与生产、存储能力所受的限制共同构成约束条件，求解得出最优生产计划。问题二中，当足球成本储存率从5%降低至0过程中，取适当步长，利用线性规划的方法求出每个月相应的生产量，并在Matlab中进行插值绘图，这样便可以在误差相对较小的情况下得出生产量在成本储存率逐渐降低时的变化规律。问题三中，利用问题二中的方法，求出成本储存率逐渐降低过程中各个月的存储量，用Excel软件对数据进行整理并绘制散点折线
6、图，由图得出储存容量达到极限时的储存成本率。3.模型的假设与符号说明3.1 模型的假设（1）今后六个月的预计需求量和相应的单位成本均不发生改变；（2）今后六个月该公司生产与存储能力稳定；（3）市场相对稳定；3.2 符号说明 第k阶段末的存储量，k=1,2,3,4,5,6； 第k阶段的生产量，k=1,2,3,4,5,6； 第k阶段的需求量，k=1,2,3,4,5,6； 第k阶段的生产单位成本，k=1,2,3,4,5,6；min 最小生产成本和储存成本 01变量4模型的建立与求解4.1问题一的模型建立与求解依题建立动态规划模型，目标函数是：min=约束条件是：运用LINGO软件min=12.5*x
7、1+12.55*x2+12.70*x3+12.80*x4+12.85*x5+12.95*x6+12.5*a*s1+12.55*a*s2+12.70*a*s3+12.80*a*s4+12.90*a*s5+12.95*s6;x1=30000;x2=30000;x3=30000;x4=30000;x5=30000;x6=30000;s1=10000;s2=10000;s3=10000;s4=10000;s5=10000;s6=10000;x1+5000-s1=10000;x2+s1-s2=15000;x3+s2-s3=30000;x4+s3-s4=35000;x5+s4-s5=25000;x6+s5
8、-s6=10000;a=0.05;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(s1);gin(s2);gin(s3);gin(s4);gin(s5);end求解得：4.2问题二的模型建立与求解对附录1中的数据用Matlab中进行插值绘图x=0:0.002:0.05 %存储成本率y=数据见附录一; %在该存储成本率下第k个月的生产量x1=0:0.00001:0.05;y1=interp1(x,y,x1,spline)plot(x,y,+,x1,y1=30000,x,y,r:)xlabel(存储变化率),ylabel(生产量),title
9、(第k个月份生产计划)对各个月份数据进行以上处理，得出六个图表（见附录3）：对图表进行分析得出储存成本率由5%降低至1.3%时，生产计划不变；由1.3%降低至0时,第一个月和第五个月生产量先上升后趋于稳定，第二个月的生产量上升趋于稳定下降趋于稳定，第三、四个月的生产量先下降上升趋于稳定，第六个月的生产量先下降后趋于0。4.3问题三的模型建立与求解对附录2中的数据用Excel绘制散点折线图由图表显示可得：存储成本率在区间0，0.3%时，存储总容量达到极限：45000。6模型结果的分析与检验 把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系逐个求解，得出最优解决方案，再运用线性规划知识，得
10、出最终结果。此结果受到多方面的约束，因此该结果这时我们可以建立一个混合整数规划模型来检验动态规划方法的结果正确性：与模型比较，需考虑随产品数量变化的费用（生产成本和存贮费用）外，引入了变量，当时表示不生产，当生产. 这一模型也可将数据输入LINDON求解（代码附后），就可得到：最优目标函数为：1535562各变量值为：由此可验证动态规划方法的正确性.7模型推广与改进方向推广：动态规划在工程技术、管理、经济、工业生产、军事及现代控制工程等方面都有广泛的应用。应用举例：离散系统最优控制 连续系统最优控制 随机最优控制。还可解决非线性规划问题以及最短路问题。改进方向： 取多组数值进行处理，从而减小误
11、差。8模型的优缺点优点：多阶段过程转化为一系列单阶段问题，从而使计算量减小；能够得到全局最优解；原理简单，适用性广；缺点：无统一的标准模型；用数值方法求解时存在一定的误差；参考文献1 姜启源. 数学模型（第三版）M. 北京：高等教育出版社，1999.2 韩中庚. 数学建模方法及其应用（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2009.3 赵静 ， 数学建模与数学实验（第三版）M. 北京：高等教育出版社，2000.9附录附录1存储成本率X1X2X3X4X5X60150001500030000300003000000.002150001500030000300003000000.00450002500
12、030000300003000000.00650002500030000250003000050000.008500025000250003000025000100000.01500025000250003000025000100000.012500020000300003000025000100000.014500020000300003000025000100000.016500020000300003000025000100000.018500020000300003000025000100000.02500020000300003000025000100000.022500020000
13、300003000025000100000.024500020000300003000025000100000.026500020000300003000025000100000.028500020000300003000025000100000.03500020000300003000025000100000.032500020000300003000025000100000.034500020000300003000025000100000.036500020000300003000025000100000.038500020000300003000025000100000.04500020000300003000025000100000.042500020000300003000025000100000.044500020000300003000025000100000.046500020000300003000025000100000.048500020000300003000025000100000.0550002000030000300002500010000附录2S1S2S3S4S5S6010000100001000050001000000.00210000100001000050001000000.004010
