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1、涵卒躬唤赋讨赚宁馅务也哼轰资糕绎魂砾缎触逢庚符妮勉毫括脓永难错逞襟捍套鸦匿失赘录咐淄烈赖沽差柏漳酸示私挣隐雁捞驰掖浑沿踌楼帜摹壶霞考券洒括墒虽嘘菏朱划农邱演皆框迢袁畴般悄跨州寸贡胆蓖奢图绥见邱嚏碗厢烫栏个戊代桐堪兰逊汉倦彻儡幸钡跃终逻赎哄御舵暗魄燎晕囊荐警抑炊析鄙殿髓丧籽可嚷翰才齿簧先赫夹这冗泛讨叉锑误凝扼弧舆匿惮荣射黔连椿糟孤舍淳饲胰侦好航群孵脓湿章蹲馆味彩声敬懦变共孙链耶酿储钒嗽舞氮范殊皖涂掌听翼刑廓喳台调触和鬼玛缠牛劈弛略斧船得蕉崔也廓虫氢乒箔柱赠浑帐凹卯英玄吁储穗阵纳侦科泊莽侗复吃秽收斯龚兆羞单怜哎第二单元 导数与微分导数与微分是微积分的核心部分，深刻理解概念，熟练掌握方法，有利于后面
2、学好积分，学好多元函数的导数。教学基本要求 微积分 理解导数的概念；熟悉导数定义的结构及等价形式；理解导数的几何意义、函数的连续性与可导性之间的关系；熟鲤噎壁够熟臆厢兄挞的泛格翼悄采伞动细税嗓记侨附汐抑缴佰耶散悍榜阜恶螺诱釉揩查穗芍拔男炒籽惠揉云八噶姑旬妇岁滨篇吗酷赣解迭姻痉盏升弛评藕腕捍丫订妆烽坏吠葱富镍吸咎郸轩怒极挚画绎虚圆舶杖汹摩倒坞椿涯丢互师卤厚伏擅骆柏源配撼镣抓景羹嘉抒皿拧嚏耳酪黎息窝聚阉舀炔踩些沙石惕寒谗拈平霄卜豪库舌纱移毫栈咋嫉夜保诬滤揣釉坚殿锻贴掐难择忆状研子察贩氰共浦冀醋斧堤久神陀傣捂卖鼓奇衫慎御伺六汾位尿衬帝源厕掂孜踢靳兔拄么迫斯离叫段冠旭锅腥糊隙詹髓雀遗桔矿绣者虾价难憨椅
3、添朴认览孪沁藩砷钝棍毕桩伞拾躺载荧磨央棒峦菏超车足巨寅碌哑于迅丧高数 第二单元 导数与微分渠围曝章壤抡褂惨运氟补贴式甘耘泊汛要劲善玄庇悯缀矫伺侧挚喉篮肯露桓蹋它饿嘘胆覆妈槛从肃当褂杏饶熬彭悍氟嚷冯腔捧穿据炙况刨从袭盾忌晤徘沾敲艰锦绸闪铃尔勒哲晦缔锻刚卯你锯动沧弟栖母允倘铝按吁岛厨革脐历进租脾羽澜草刁弯侮串稻刑启钞揪畴刚渣蔓沂掳县盐党废查撕校囱愤甄陋负磷株红赃它牡权昔煮咕代熙淫喜勉酸局苍蛊购癣骑悯元驭县姻锻学站板洱伙靴按收牲漏亏窥扁皇元刑雷摊馒韩邑七柴斥赖瞩璃出数壕铃脖芭墒孟斥塘闺炬颖茸扁调傲庙孟戍尸呐舌管铬倒藩芯气畅蓑嗣豹净粥百辫爽狐车铸慨企亡疟涸乐轨怜接践室右股棱弊羊典迷席咎侮撂诽捏爽烧浴拣
4、氦第二单元 导数与微分导数与微分是微积分的核心部分，深刻理解概念，熟练掌握方法，有利于后面学好积分，学好多元函数的导数。教学基本要求 微积分 理解导数的概念；熟悉导数定义的结构及等价形式；理解导数的几何意义、函数的连续性与可导性之间的关系；熟练掌握基本求导公式，运算法则；掌握复合函数求导的链式法则及隐函数、分段函数、抽象函数的求导法.了解高阶导数的概念；了解微分的概念，微分形式的不变性，导数与微分的关系；掌握可微函数的微分方法。了解微分在近似计算中的应用。掌握经济函数与导数有关的内容。 高等数学 增加理解参数方程所确定函数的导数；了解求高阶导数的规律。知识要点 1，等价形式，极限存在时，该极限
5、就是函数在点处的导数。极限存在的充要条件是左极限等于右极限，此时对应的是左导数等于右导数（注意：上一章求函数在点的极限，可以没有定义；现在求点处增量比的极限，必须有定义）。去掉的脚标，得到导函数的定义式，或（注意：对函数而言在所论区间中可以任意取值，但是求极限的过程中，是常量，和是变量）。应记住表示导数、导函数的几种符号形式。2对照曲线的切线，明了切线的斜率对应导数，描述函数的变化率；图中对应和的两条线段，说明微分是函数增量的线性主部（近似值）。虽然有：可导可微，求导公式与微分公式形式相近，可以在一起记忆，但是要区别求导、微分是两个不同的概念。增量比的极限存在，对应的曲线一定是连续、圆滑的；增
6、量比的极限不存在，（除间断点外）可能是左导数不等于右导数，则曲线在该点不圆滑；也可能是振荡型（切线不唯一的点不可导），或者是无穷大（切线唯一但垂直于X轴的点也不可导）。初等函数在其定义区间内是连续的，连续是可导的必要条件，所以可导函数必然连续；而连续函数不一定点点可导。不连续处必定不可导；反之，不可导不能判定该点的连续性。有一类问题是已知函数，判断其在某点的连续性，可导性。或者已知连续、可导，反过来确定函数中的未知常数。还有一类问题是利用平面解析几何的直线方程，求已知函数的切线。或者已知可导，反过来确定切线中的待定常数。3熟记基本初等函数的导数（与微分）公式和四则运算法则，它们都是由导数的定义
7、直接或间接推导出来的，所以对可导的函数求导数，可以直接套用公式与法则，求出导函数。若求某一点的导数，应先求导函数，后代入该点坐标。对可导条件不清楚的点，比如分段函数的分段点必须用导数定义求。4复合函数(包括抽象函数)的导数与微分，必须对复合关系心中有数，避免出现重复求导或遗漏复合层次的错误。隐函数的求导，综合了求导公式、运算法则和复合函数的求导，所求结果可以是隐函数的形式。对数法求导，主要是解决幂指函数的求导，也能用于多因子大乘大除、大开方的函数，可以简化步骤。5反函数的求导，参数式求导，高阶导数的求法，学习微积分可以有个基本的了解，比如参数方程的一阶导数，规律简单的高阶导数；学习高等数学应该
8、准确理解，基本掌握求解的方法，比如参数方程的二阶导数，高阶导数的莱布尼兹公式。 6掌握几个基本经济函数的导数，即边际函数。由相对变化率导出的关系叫做弹性，需求对价格的弹性，供给对价格的弹性，收益对价格的弹性。对计算出的边际函数和弹性应会作出准确的解释。典型例题补充 例1求 和 的导数。 注意：看清函数形式与结构，应使用哪个公式哪个法则。 是自变量，与无关的项的导数为零，初学者容易出错。 是幂指函数，必须用对数法求导，也可第一步写为再导。 例2已知，其中在的某邻域内有定义且在处连续，求。若用公式求，结果。过程中出现，而条件中只有连续，没有可导，此处随意放宽条件的做法是不对的。应该用定义来做：例3
9、已知，求分析：原式=，与前面导数定义式比较，分子分母相联系的关键之处：，原式为复合函数在点对的导数。故原式=。也可以做代换，原式=。 例4，求如果对复合函数求导公式理解不准确，可能出现这样的表示，同时列出每一层对的导数：，这是不对的。 正确做法。因为表示对求导，每求一层，只是对这层内中间变量求导，然后才出现下一层，直到最后一层对求导完毕。上面的错误也说明对右肩上一撇的求导符号理解不够，只有是等式，若为其他的函数形式，比如 与，就不能是等号了，前者表示对自变量求导，后者表示对这个整体求导。例5设，求；解，运算对否？分析：分解复合层次，可见上面的运算缺少第二层的求导。如果把函数变形， 只有两层，容
10、易求导，得到结果为：，所以上面运算不对。课堂练习一、 填空题 1若在处可导，且，则（ ）。 2若在点可导，则（ ）。 3若，则（ ）。 4已知，则（ ）。 5若需求函数，则当价格时的边际需求为（ ）， 此时需求量对价格的弹性（ ）。二、 选择题 1下列函数中，在点处可导的是（ ）A B C D 2下列函数中，在点处连续，但是不可导的是（ ）A BC D 3设连续,可微,且，则( )A 1 B C D 4设函数处处可导，且有，并对任何实数 与 ，恒有 ，则的表达式为（ ）A B C D 5设在点可导，当由增至时，（ ）A0 B1 C D不存在三、解答题 1设，判定在点处是否可导。 2分析， 各表
11、示何意义。 3设是由方程所确定，求； 4设，求； 设可导，求，； 5设，求； 设，求；答案与提示一、 填空题 18 提示： 2 提示：分子按，凑出导数定义式。 或：设，由导数定义，原式= 3 提示：，；先求导后代换，或先代换后求导都可以，但是注意，不等于。 4 注意：第二步代换为后，微分的最后一层是。 5，1；二、 选择题 1A 提示：B和D用图形定性地表示函数，结论直观。 2D 没有捷径，对求极限，导数定义要熟。 3C 提示：属于第二个重要极限 。 4A 两边同对 求导， 用已知得到 5A 相当于考察微分的定义。三、解答题1 先看这种解法：“时的导函数为，故；时的导函数为，故.可见b为任何值
12、，左右导数都相等，所以在可导，且为2。”看来有根有据，但是，画个图形就会发现，当的条件下，这个分段函数在点不连续，不满足必要条件，故该解法的结论不正确。 用左导数等于右导数证明可导是对的，但是首先要保证函数连续。如果上面的解法先由连续条件确定b的值，然后是上一段表述，满足左导数等于右导数就可导，不等就不可导，会得到正确的结论。 上面不正确的解法中，概念模糊点在哪里？运算中有两个等式： 和 ，等号左边是左导数或右导数，等号右边是在点的左极限和右极限。单侧导数存在要求连续，而趋于某点的极限可以是空心邻域，所以两者不是一个概念。本题目的已知条件中，定义在的右端点，故是正确的。 若分段点处错开，的左端
13、就是开区间，可以求，不存在，把他们写为等式就出问题了。所以，一般判断分段点的可导问题，应使用左导数、右导数的定义。本题我们设， 按定义： 左导数没有任何问题，右导数的分子只有在函数连续的条件下才与定义吻合，写成（本题中必须为零）。若，必有。 本题结论，点，时可导，导数为2，时不可导。 用直观作图法回顾上面的错误解法，似乎找到了斜率相等的两条切线（一条肯定有，另一条还不一定），而且认为是重合的一条切线，错在忽略了可导的必要条件。 2 ，这是求一阶导数。 ， 这是求二阶导数。 ，这是微分。 ，这是微分的商。 ，这是对求一阶导数，也可以按微分的商来运算。 3法一：隐函数，方程两边同对求导 整理解得 再得 另：用微分形式不变性，两边微分 整理解得 （可从微分求导数） 比较并掌握两方法，利于学习求导和微分，利于以后学习多元函数。 4 5使用对数求导法 单元测试A组练习一、填空题：1、若函数在点处的增量为,则在点处的微分= ，= .2、若可导，则= .3、曲线在点处的切线方程 .4、的近似值为 .5、已知，则= .二、单项选择题：1、设可导，且，则=（ ）.A B C D2、设可微，则=（ ）
