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1、第六章 电磁场能量6-1 一个空气介质的电容器，若保持极板间电压不变，向电容器的极板间注满介电常数为 = 4E的油，问注油前后电容器中的能量密度将如何改变？若保持 电荷不变，注油0前后电容器中的能量密度又将如何改变？解 平行极板间电场强度和电位移矢量分别为E = U， D = d当极板间电压不变时，空气介质中电场能量密度1=ED2U2d2注油后电场能量密度1 U 24 = 4 w00当极板上电荷不变时，极板上的电荷面密度则电场强度电位移矢量 D二a，空气介质中电场能量密度1ED2a2注油后电场能量密度 w=a2=0.25 w06-2内、外两个半径分别为a、 介电常数为 ，当内 电场能量。解 如
2、图 6-1建立球坐标位移矢量为E =-4 冗s r 20则极板间的电场能量b 的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的 外电极上的电荷分别为-时，求电容器内储存的静球形极板间的电场强度和电D = q ，4n r 22 111-24冗Jbd rq2r 1 1)4冗r 2dr =一 4冗丿r42 4冗丿a r28阳、a b丿000W =P 1a26-3 两个同轴薄金属圆柱，半径分别为 R = 5cm在大圆柱内，极板间介质的介电常数为 ，如果在两 圆柱间加上U = 1000 V的电压，求电容器极板间储存 的静电场能量。解 如图6-2建立圆柱坐标，圆柱形极板间的电场强度为E =-一，由于极板间的电压U
3、 = 1000 V，则有2冗s r0R = 6cm ，小圆柱有 l = 1m 放U = t ln R2 = 1000，可得 2屈R01- U 10002T、R lnl.20 ln 2R1则极板间的电场能量W = f R 2R1 201(ln R / R 丿21庇lU 1 20ln R / R21冗 x 8.85 x 10 -12 x 10 3=1.52 x 10 -7 Jln1.26-4内导体半径为a，外半径为b的同轴电缆中通有电流I。假定外导体的厚度 可以忽略，求单位长度的磁场能量。解 如图6-3建立圆柱坐标，当r a时，有相应的磁场能量为2冗a2Wm2 卩12r2 - 2 冗 r d r
4、=016冗当a r b时，有 H相应的磁场能量 Wm2I 2冗丿1-2 冗 r d r = r2r 1b)-+ ln 14a丿所求磁场能量为 w = W + W =卩0“ +卩0“ ln = 上丄m m 1 m 一 一x b16 冗 4 冗 a 4 冗6-5空气中有一个边长为b的等边三角形回路和一长直导线，三角形回路的一边与长直导线平行，间距为a，三角形回路的另一顶点离直导线较远，如图6-4 所示。当直导线和三角形回路分别有电流I和I时，求三角形回路与直导线1 2之间的互有磁场能量。yJL解如图建立坐标系，电流11三角形线圈中产生的磁感应强度为卩IB =70 1，2 冗(a + x /元磁通卩
5、Id 0 = B d s =产 - 2 y - d x，2 冗(a + x /6-4式中1by = - x + ，V32rbx I 2 一d x =b )+ ln2丿兀两线圈间的互感M =b ) a + ln2丿3Tb i扁 b2因此，两线圈间的互有能W = MI I121肓x ba2流密度分别为 EU= e ， J =Y UY E =d z Cd据安培环路定律，可得 H 2kr= J kr 2 C即 H = e =Y Ur e2a2 da则坡印亭矢量为S=ExH=U Y Ur e -YU 2ed 2dr2d26-7 在题6-6中，.U Z 0。E =edz6-6 一个平板电容器的极板为圆形，
6、极板面积为s，极间距离为d。介质的介电 常数为e，电导率为丫。当极板间电压为直流电压U时，求电容器中任一点的坡印亭矢量。解 如图建立坐标系，两极板间的电场强度、传导电如果电容器极间的电压为工频交流电压U八2U cos 314 t。求任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。解据题意，可得各极间电场强度为E J赵314 t e，相量式电位移矢量为 D = U e，相量式则传导电流密度为YuJ = YE = eCd，相量式JC位移电流密度 JDz6D314 ：2U sin 314 te，4日量工式 JD6tdd则全电流密度J=J +J =CD+ j e，磁场强度丿Ur丿坡印亭矢量 S = E x H * =-ro Aj_ e丿由此可得有功功率P = 2 冗 Rd=，无功功率Q =U 2冗R 2dU 2 R W-2冗Rd =2 d 213a2
