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1、中考复习50 圆与圆(2)知识考点:1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法(转化为解直角三角形)。2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形,以及这类问题添加辅助线的方法,会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。精典例题:【例1】如图,O1与O2外切于P,AB是两圆的外公切线,切点为A、B,我们称PAB为切点三角形,切点三角形具有许多性质,现总结如下:(1)PAB是直角三角形,并且APB900;(2)PAB的外接圆与连心线O1O2相切;(3)以O1O2为直径的圆与RtPAB的斜边AB相切;(4)斜边AB是两圆直径的比例中项;(5)若O1、O2的半径为、,则PAPBAB;(6)内公
2、切线PC平分斜边AB;(7)CO1O2为直角三角形。这些结论虽然在证题时仍需证明,但有了这些基本结论作基础,可帮助你迅速找到解题思路,可以提高解题速度,下面用一个具体的例子来说明。 如图2,A和B外切于P,CD为两圆的外公切线,C、D分别为切点,PT为内公切线,PT与CD相交于点T,延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F,又A的半径为9,B的半径为4。(1)求PT的长;(2)求证:;(3)试在图中找出是线段PA和PB比例中项的线段,并加以证明。分析:图中的基本图形是切点三角形,易证T为CD的中点,CPD900,PT即为外公切线长的一半,CF、DE分别为两圆直径,且互相平行,问题就解决了。略解;
3、(1)作BGAC于G,则CDBGPTCTTDCD6证明(2)PTCD,CPD900CF、DE分别是A和B的直径 又CD切两圆于C、D,FCCD,EDCDCFDE,(3)图中是PA和PB比例中项的线段有PT、CT、DT(证明略)【例2】如图,O和内切于点B,经过O,O的弦AE切于点C,AB交于D。(1)求证:;(2)设AB10cm,DCcm,求AC和BC的长。分析:两圆相切,常见辅助线是作两圆公切线,作连心线,本题添了这两种辅助线,问题便迎刃而解了。(1)证明:过B作两圆的公切线BT,证BCDBEC即可;(2)解:连结并延长,连结OD O与内切,O、B三点共线 BO为的直径 ODBD,ADBDA
4、B5 cm AC切于C,45,又AA ACDABC, ,cm探索与创新:【问题一】如图,AB为半O的直径,O1与半圆内切于,与AB相切于,O2与半圆内切于,与AB相切于,请比较AC1D1与AC2D2的大小。分析:显然O、O1、共线,O、O2、共线,又O1D1AB,O2D2ABA1C1D1AC1OOC1D1(OO1BOOD1)O1D1O900450;AC2D2AC2OOC2D2(C2OBOO2D2)900450,故AC1D1AC2D2。 【问题二】如图,已知圆心A(0,3),A与轴相切,B的圆心在轴的正半轴上,且A与B外切于点P,两圆的公切线MP交轴于点M,交轴于点N。(1)若sinOAB,求直
5、线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式;(2)若A的位置大小不变,B的圆心在轴的正半轴上移动,并使A与B始终外切,过M作B的切线MC,切点为C,在此变化过程中探究:四边形OMCB是什么四边形?对你的结论加以证明;经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在,表示出来;若不存在,请说明理由。解:(1)提示:先求出M(0,2)、N(,0),再用待定系数法易得直线MP的解析式:,过M、N、B三点的抛物线的解析式为;(2)四边形OMCB是矩形,证明如下: 在A不动,A运动变化过程中,恒有BAOMAP,OAAP,AOBAPM900,AOBAPM,PBPM,ABAM,PB
6、OM,而PBBC,OMBC。由切线长定理知MCMP,MCOB,四边形MOBC是平行四边形,又MOB900,四边形MOBC是矩形。存在,由上证明可知,RtMONRtBPN,BNMN。因此存在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在。由抛物线的轴对称性可知,在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称,BN,这样得到满足条件的三角形有两个,MNB和。跟踪训练:一、选择题:1、如果两圆的半径分别为、,外公切线长为,那么这两个圆( ) A、相交 B、外切 C、外离 D、外切或外离2、两圆外切,它们的两条外公切线互相垂直,大圆的半径是,小圆的半径是,则等于( ) A、 B、 C、2 D、3
7、、已知O1和O2外切于点P,过点P的直线AB分别交O1、O2于A、B。已知O1和O2的面积比为31,则APPB( ) A、31 B、61 C、91 D、14、如图,O1和O2外切于点A,外公切线BC与O1、O2分别切于B、C,与连心线O1O2交于P,若BPO1300,则O1和O2的半径之比为( ) A、12 B、31 C、23 D、34二、填空题:1、两圆的外公切线长为,内公切线长为,若圆心距是20,则两圆的半径分别是 。2、如图,O1和O2外切于点C,AB是外公切线,A、B是切点,若AB5,BC3,则O1的半径为 。3、如图,O1和O2外切于点C,AB是外公切线,A、B是切点,两圆半径分别为
8、9cm、4 cm,则ACBC 。 4、如图,O1与O2相交于A、B两点,现给出四个命题:若AC是O2的切线,且交O1于C,AD是O1的切线,且交O2于D,则:;连结AB,O1O2,若O1 A15 cm,O2 A20 cm,AB24 cm,则O1O225 cm;若CA是O1的直径,DA是O2的一条非直径的弦,且点D、B不重合,则C、B、D三点不在同一条直线上;若过点A作O1的切线交O2于点D,直线DB交O1于点C,直线CA交O2于点E,连结则。则正确命题的序号是 (填序号)。5、两外切,其半径分别为4和3,这两个圆的连心线与一条外公切线所夹锐角的正切值为 。6、如上页图,O1与O2外切于A,O1
9、的弦BC延长切O2于D,BA交O2于E,若BDE1100,则BAC 。三、计算或证明题:1、如图,已知矩形ABCD,O1与O2外切,O1与AD、AB、AC相切,O2与BC、CD相切。(1)若AB18,BC25,求O2的半径;(2)若连心线O1O2与BC的夹角为300,O1O212,求矩形ABCD的面积。2、如图,已知O1与O2外切于P,外公切线AB分别切O1于A,切O2于B,且AB,A O1O2600,求两圆的半径及O1O2的长。 3、如图,已知O与P相交于A、B两点,点P在O上,O的弦AC切P于点A,CP及其延长线交P于D、E,过点E作EFCE交CB的延长线于F。(1)求证:BC是P的切线;(2)若CD2,CB,求EF的长;(3)若设PECE,是否存在实数,使PBD恰好是等边三角形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。跟踪训练参考答案一、选择题;DBDB二、填空题: 1、6,4;2、;3、32;4、;5、;6、400三、计算或证明题:1、略解:(1)易知O1的半径为9,设小圆半径为,连结O1O2、O1E、O2F,作O2MO1E于M,则,解得;(2)矩形ABCD的面积为;2、,。3、(1)证BPCB;(2);(3)存在。