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1、中考复习50 圆与圆（2）知识考点：1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。精典例题：【例1】如图，O1与O2外切于P，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，我们称PAB为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：（1）PAB是直角三角形，并且APB900；（2）PAB的外接圆与连心线O1O2相切；（3）以O1O2为直径的圆与RtPAB的斜边AB相切；（4）斜边AB是两圆直径的比例中项；（5）若O1、O2的半径为、，则PAPBAB；（6）内公
2、切线PC平分斜边AB；（7）CO1O2为直角三角形。这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。 如图2，A和B外切于P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点，PT为内公切线，PT与CD相交于点T，延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F，又A的半径为9，B的半径为4。（1）求PT的长；（2）求证：；（3）试在图中找出是线段PA和PB比例中项的线段，并加以证明。分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T为CD的中点，CPD900，PT即为外公切线长的一半，CF、DE分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。略解；
3、（1）作BGAC于G，则CDBGPTCTTDCD6证明（2）PTCD，CPD900CF、DE分别是A和B的直径 又CD切两圆于C、D，FCCD，EDCDCFDE，（3）图中是PA和PB比例中项的线段有PT、CT、DT（证明略）【例2】如图，O和内切于点B，经过O，O的弦AE切于点C，AB交于D。（1）求证：；（2）设AB10cm，DCcm，求AC和BC的长。分析：两圆相切，常见辅助线是作两圆公切线，作连心线，本题添了这两种辅助线，问题便迎刃而解了。（1）证明：过B作两圆的公切线BT，证BCDBEC即可；（2）解：连结并延长，连结OD O与内切，O、B三点共线 BO为的直径 ODBD，ADBDA
4、B5 cm AC切于C，45，又AA ACDABC， ，cm探索与创新：【问题一】如图，AB为半O的直径，O1与半圆内切于，与AB相切于，O2与半圆内切于，与AB相切于，请比较AC1D1与AC2D2的大小。分析：显然O、O1、共线，O、O2、共线，又O1D1AB，O2D2ABA1C1D1AC1OOC1D1（OO1BOOD1）O1D1O900450；AC2D2AC2OOC2D2（C2OBOO2D2）900450，故AC1D1AC2D2。 【问题二】如图，已知圆心A（0，3），A与轴相切，B的圆心在轴的正半轴上，且A与B外切于点P，两圆的公切线MP交轴于点M，交轴于点N。（1）若sinOAB，求直
5、线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；（2）若A的位置大小不变，B的圆心在轴的正半轴上移动，并使A与B始终外切，过M作B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：四边形OMCB是什么四边形？对你的结论加以证明；经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，请说明理由。解：（1）提示：先求出M（0，2）、N（，0），再用待定系数法易得直线MP的解析式：，过M、N、B三点的抛物线的解析式为；（2）四边形OMCB是矩形，证明如下： 在A不动，A运动变化过程中，恒有BAOMAP，OAAP，AOBAPM900，AOBAPM，PBPM，ABAM，PB
6、OM，而PBBC，OMBC。由切线长定理知MCMP，MCOB，四边形MOBC是平行四边形，又MOB900，四边形MOBC是矩形。存在，由上证明可知，RtMONRtBPN，BNMN。因此存在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在。由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称，BN，这样得到满足条件的三角形有两个，MNB和。跟踪训练：一、选择题：1、如果两圆的半径分别为、，外公切线长为，那么这两个圆（ ） A、相交 B、外切 C、外离 D、外切或外离2、两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，大圆的半径是，小圆的半径是，则等于（ ） A、 B、 C、2 D、3
7、、已知O1和O2外切于点P，过点P的直线AB分别交O1、O2于A、B。已知O1和O2的面积比为31，则APPB（ ） A、31 B、61 C、91 D、14、如图，O1和O2外切于点A，外公切线BC与O1、O2分别切于B、C，与连心线O1O2交于P，若BPO1300，则O1和O2的半径之比为（ ） A、12 B、31 C、23 D、34二、填空题：1、两圆的外公切线长为，内公切线长为，若圆心距是20，则两圆的半径分别是 。2、如图，O1和O2外切于点C，AB是外公切线，A、B是切点，若AB5，BC3，则O1的半径为 。3、如图，O1和O2外切于点C，AB是外公切线，A、B是切点，两圆半径分别为
8、9cm、4 cm，则ACBC 。 4、如图，O1与O2相交于A、B两点，现给出四个命题：若AC是O2的切线，且交O1于C，AD是O1的切线，且交O2于D，则：；连结AB，O1O2，若O1 A15 cm，O2 A20 cm，AB24 cm，则O1O225 cm；若CA是O1的直径，DA是O2的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上；若过点A作O1的切线交O2于点D，直线DB交O1于点C，直线CA交O2于点E，连结则。则正确命题的序号是 （填序号）。5、两外切，其半径分别为4和3，这两个圆的连心线与一条外公切线所夹锐角的正切值为 。6、如上页图，O1与O2外切于A，O1
9、的弦BC延长切O2于D，BA交O2于E，若BDE1100，则BAC 。三、计算或证明题：1、如图，已知矩形ABCD，O1与O2外切，O1与AD、AB、AC相切，O2与BC、CD相切。（1）若AB18，BC25，求O2的半径；（2）若连心线O1O2与BC的夹角为300，O1O212，求矩形ABCD的面积。2、如图，已知O1与O2外切于P，外公切线AB分别切O1于A，切O2于B，且AB，A O1O2600，求两圆的半径及O1O2的长。 3、如图，已知O与P相交于A、B两点，点P在O上，O的弦AC切P于点A，CP及其延长线交P于D、E，过点E作EFCE交CB的延长线于F。（1）求证：BC是P的切线；（2）若CD2，CB，求EF的长；（3）若设PECE，是否存在实数，使PBD恰好是等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。跟踪训练参考答案一、选择题；DBDB二、填空题： 1、6，4；2、；3、32；4、；5、；6、400三、计算或证明题：1、略解：（1）易知O1的半径为9，设小圆半径为，连结O1O2、O1E、O2F，作O2MO1E于M，则，解得；（2）矩形ABCD的面积为；2、，。3、（1）证BPCB；（2）；（3）存在。
