《高中数学全套知识点.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学全套知识点.doc（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、集合一 定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二 集合的抽象表示形式用大写字母A，B，C表示集合；用小写字母a，b，c表示元素。三 元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作；元素a不属于集合A，记作。四 几种集合的命名有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。五 集合的表示方法(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如：a,b,c。注
2、意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。(二) 描述法：有以下两种描述方式1代号描述：【例】方程的所有解组成的集合，可表示为x|x2-3x+2=0。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】大于2小于5的整数；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。1子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的子集，记作：，如图1-1所示。 图1-1子集有两种极限情况：(1)当A
3、成为空集时，A仍为B的子集； (2)当A和B相等时，A仍为B的子集。真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作或。真子集也是子集，和子集的区别之处在于。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，有2n个子集，有2n -1个真子集；(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，的等价形式主要有：。2交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作，读作A交B，如图1-2所示。 图1-2 图1-3 图1-43并集：由两个集合所有元素组成的集合
4、，叫做这两个集合的并集，记作，读作A并B，如图1-3所示。4补集：由所有不属于的元素组成的集合，叫做在全集中的补集，记作，读作A补，如图1-4所示。德摩根公式 ：.(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，2,3，(2,3，2，3第二章 函数一 映射与函数的基本概念(一) 映 射A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，
5、从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。 图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射()求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是nm。()判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二) 函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式 函数与普通映射的区别在于：(1
6、)两个集合必须是数集； (2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。 图2-4 二 定义域题型 (一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在 与中且，列不等式求解。(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。三 值域题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值
7、范围；(3)画图像，定区间，截段。(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1) ：则且。(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围。(3)： ，则且。(4)求的值域，当时，用判别式法求值域。， 值域(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知
8、值域对照求字母取值或范围。四 函数运算法则（一） 指数运算法则 运用指数运算法则，一般从右往左变形。（二） 对数运算法则同底公式： 运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。不同底公式： 运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。五 函数解析式(一) 换元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)，(设2x + 3=3-7t)。(二) 构造法：如，求f(x)。(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(x +) + C中系数(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五) 求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。六 常规函数的图像常规函
9、数图像主要有： 指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转，底数越来越大 底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七 函数的单调性(一) 定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数。(二) 单调性题型：1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数法： ：当0 x 1时，x，x2，- x2，2.判断单调性 (1).求导函数：为增函数，为减函数(2).利用定义：设x1xx2，比较f(x1)与f(x2)大小，把因式分解，看正负。(3).
10、原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性。3.利用函数单调性：(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。(2).比较函数值的大小：画图看(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。增函数或减函数或(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。八 函数的奇偶性(一)定义：如果,则为偶函数；如果,则 为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。(二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ： (1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇(3).原
11、、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。2.利用奇偶性：(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。3.奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y轴对称若，则f(x)关于对称奇函数：关于原点对称若，则f(x)关于点(，m) 对称九 函数的周期性(一) 定义：若，则为周期函数，为周期(二) 周期性
12、考点： 1.求周期： (1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =(2).把所给函数化为y=Asin(x +) + C标准形式，直接读出周期 2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)(1).求解析式(2).求函数值十 函数图像的对称性(一) 一个图关于点对称：()奇函数关于原点对称()若f(a+x) + f(b-x)=2m，则f(x)关于(，m)对称(二) 一个图关于直线对称：()偶函数关于轴对称() ，则关于对称(三) 两个图关于点对称 ()关于原点对称的函数：x-x，y-y，即-y=f(-x)()关于对称的函数：即(四) 两个图关于线对称 ()原函数与反函数：关于y=
13、x对称 ()y= f(x)关于y=x + c对称的函数:xy-c，yx+c，即x+c= f(y-c) ()y= f(x)关于y=-x+c对称的函数: x-y+c,y-x+c，即-x+c= f(-y+c) ()f(x)与f(-x)关于y轴对f(a+x)与f(b-x)关于对称 ()f(x)与-f(x)关于x轴对称十一 原函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。（一） 求反函数：先反表示，再互换；或先互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。（二） 利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。1定
