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1、夷陵中学2015届高三第一轮复习数学学案 第八章 圆锥曲线 8.7 抛物线一知识梳理1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（L）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线L叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线L上，否则轨迹是过点F且与L垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：、.应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。(一次项定轴，系数定方向)yxABCDKFO3抛物线的几何性质： （1）焦点弦：设过抛物线（p
2、O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为，则有|AB|=x+x+p ，（时弦AB长的最小值为2p，此时AB为通径；以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。），焦半径为直径的圆与y轴相切, 焦点弦为直径的圆与准线相切 （2）设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)（3）抛物线上的动点可设为P或或P4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：ax+bx+c=0，当a0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是
3、抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。二典型例题题型一.抛物线的定义及应用例1.动圆M与定直线y=2相切，且与定圆相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。点评：将条件转化为抛物线的定义式求轨迹方程简化计算，要注意点在线上的特殊情况。例2. 设P是抛物线上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。点评：利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。题型二.求抛物线标准方程例3. 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线
4、的准线方程：（1）过点（3，2）； （2）焦点在直线x2y4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论点评：由于题设条件无法确定焦点和准线的位置，因此无法确定抛物线的类型，可根据所给点的位置，考虑过这点的抛物线有几种类型来求解。这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解。题型三.抛物线性质及应用例4.如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线的焦点，若，则_题型四.直线与抛物线例5.（1）抛物线上的点到直线距离的最小值是 （2）已知抛物线方
5、程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，则p的值_。(3)直线y=x1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_. 点评：求曲线上的点到直线的距离的最值常转化为线线距，曲线上的点到焦点的距离常用焦半径公式，中点问题常用点差法。题型五. 抛物线光学性质 重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。例6抛物线一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后又射向抛物线上的点，再反射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点（如图所示）（1）设两点坐标分别为，证明；（2）求抛物线的方程；（3）试判
6、断在抛物线上是否存在一点，使该点与点关于所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由题型六. 抛物线综合应用例7. 如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、四点，求的值分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题例8（1）在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为 （2）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于 分析: 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.例9已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点44
