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1、第三章 湘江流量估计模型 数值积分法3.1 湘江水流量估计的实际意义水流量是水文特征值的一个重要指标，而水文特征值对于水资源的合理利用，防洪以及抗旱具有指导性的作用，因此湘江水流量估计对于湘江流域的社会经济和人民生活具有重大的影响。现根据实际测量得到湘江某处河宽700m，其横截面不同位置某一时刻的水深如表3.1.1所示。若此刻湘江的流速为0.5m/s，试估计湘江此刻的流量。要计算湘江水流量就需要知道其横截面面积，如果知道此处江的水深曲线函数，则其横截面面积为。但是在实际中是不可能精确得到的，那么怎样求出足够高精度的横截面面积的近似值。表3.1.1 湘江某处横截面不同位置的水深数据 单位：mx0
2、50100150200250300350400450500550600650700h(x)4.25.95.85.24.55.755.54.85.94.15.14.65.7,4.73.1.1 数值求积的必要性在高等数学中，曾用牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式：（其中是的一个原函数）来计算定积分。但是，在工程技术和科学研究中，常常遇到如下情况：(1)的结构复杂，求原函数困难；(2)的原函数不能用初等函数表示；(3)的精确表达式不知道，只给出了一张由实验提供的函数表。对于这些情况，要计算积分的精确值都是十分困难的，这就要求建立积分的近似计算方法。此外，积分的近似计算又为其它一些数值
3、计算，例如微分方程数值解、积分方程数值解等提供了必须的基础。3.1.2 构造数值求积公式的基本方法可以从不同的角度出发，通过各种途径来构造数值求积公式。但常用的一个方法是，利用插值多项式来构造数值求积公式。具体做法如下：在积分区间上取一组点：，作的次插值多项式：其中为次Lagrange插值基函数。用近似代替被积函数，则得： （3.1.1）若记 （3.1.2）得数值求积公式： （3.1.3）形如（3.1.3）的求积公式称为机械求积公式。其中称为求积节点，称为求积系数。若求积公式（3.1.3）中的求积系数是由（3.1.2）确定的，则称该求积公式为插值型求积公式。本章主要讨论插值型求积公式。3.1.
4、3 求积公式的余项积分的真值与由某求积公式给出的近似值之差，称为该求积公式的余项，记作。例3.1.1 求积公式（3.1.3）的余项为：如果求积公式（3.1.3）是插值型的，则由上知：于是，由插值余项公式得： （3.1.4）其中。3.1.4 求积公式的代数精度为了使一个求积公式能对更多的积分具有良好的实际计算意义，就应该要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。在数值计算中，常用代数精度这个概念来描述。定义3.1.1 若求积公式：对任意不高于次的代数多项式都准确成立，而对于却不能准确成立，则称该公式的代数精度为。例3.1.2 梯形公式（在几何上就是用梯形面积近似代替曲边梯形面积，如图3.1.1所示
5、） （3.1.5）的代数精度。0图3.1.1 梯形求积公式几何直观示意图解：当时，在（3.1.5）中：左端=，右端=，左端=右端，这表明求积公式（3.1.5）对是准确成立的；当时，在（3.1.5）中：左端=，右端=，左端=右端，这表明求积公式（3.1.5）对也是准确成立的；综上所述，容易看出求积公式（3.1.5）对函数和的任一线性组合（不高于一次的代数多项式）都准确成立，故公式（3.1.5）的代数精度至少等于1。但是，当时，在（3.1.5）中：左端，右端，左端右端（设），故由定义知，梯形公式（3.1.5）的代数精度。显然，一个求积公式的代数精度越高，它就越能对更多的被积函数准确（或较准确）地成
6、立，从而具有更好的实际计算意义。由插值型求积公式的余项（3.1.4）容易得出下面的定理。定理3.1.1 含有个节点的插值型求积公式（3.1.3）的代数精度至少为。3.2 数值求积的Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）方法在3.1 中，介绍了插值型求积公式及其构造方法。在实际应用时，考虑到计算的方便，常将积分区间等分，并取分点为求积节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。本节在介绍一般牛顿-柯特斯公式的基础上，介绍几个常用的牛顿-柯特斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。3.2.1 Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式若将积分区间等分，取
7、分点作为求积节点，并作变量替换，那么插值型求积公式(3.1.3)的系数由（3.1.2）可得：记 （3.2.1）则于是，由（3.1.3）就可写出相应的插值型求积公式： （3.2.2）这就是一般的牛顿柯特斯公式，其中称为柯特斯系数。从柯特斯系数的算式（3.2.1）可以看出，其值与积分区间及被积函数都无关，只要给出了积分区间的等分数，就能毫无困难地算出。例3.2.1 当时有：，当时，有：，为了便于应用，部分柯特斯系数列见表3.2.1表3.2.1 柯特斯系数表11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/4517/90519/28825/9625/144
8、25/14425/96199/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840利用这张柯特斯系数表，由（3.2.2）可以直接写出当时的牛顿柯特斯公式。例3.2.2 当时有两点公式： （3.2.3）当时有三点公式： （3.2.4）当时有五点公式： （3.2.5）其中，。求积公式（3.2.3）就是梯形公式。求积公式（3.2.4）称为辛普生（Simpson）公式。其几何意义就是通过三点的抛物线围成的曲边梯形面积近似地代替原曲边梯形面积，如图3.2.1所示。 因此，求积公式（3.2.4）又名抛物线公式。求积公式（3.2.5）称为柯特斯公式。图3.2.1 抛物线积分公式几
9、何示意图梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式，是三个最基本、最常用的等距节点下的求积公式。下述定理给出了这些求积公式的余项。定理3.2.1 若在上连续，则梯形公式（3.2.3）的余项为： （3.2.6）若在上连续，则辛普生公式（3.2.4）的余项为： （3.2.7）若在上连续，则柯特斯公式(3.2.5)的余项为： （3.2.8）其中，。3.2.2 复合Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式由定理3.2.1知，当积分区间较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。所谓复合
10、求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿柯特斯公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。例3.2.3 先将区间等分，记分点为，其中，称为步长，然后在每个小区间上应用梯形公式（3.2.3），就可以导出复合梯形公式：若将所得积分近似值记成，并注意到，则上式即为： （3.2.9）同理，可得复合辛普生公式： （3.2.10）和复合柯特斯公式： （3.2.11）其中定理3.2.2若在积分区间上分别具有二阶、四阶和六阶连续导数，则复合求积公式(3.2.9)、(3.2.10)和(3.2.11
11、)的余项分别为： （3.2.12） （3.2.13） （3.2.14）其中，且当充分小时，又有： （3.2.15） （3.2.16） （3.2.17）证明 只对复合梯形公式（3.2.9）证明余项公式（3.2.12）和(3.2.15）.先证（3.2.12）。由于在上连续，故由定理3.2.1知，对每个小区间上积分使用梯形公式时，所得近似值的误差为：，故 （3.2.18）即因为，由介值定理知，在中必有点，使，故余项公式（3.2.12）成立。由（3.2.18）和定积分的定义，有：（3.2.19）故当充分小时，（3.2.15）成立。由余项公式（3.2.12）（3.2.17）可以看出，只要所涉及的各阶导数
12、在积分区间上连续，则当（即）时，和都收敛于积分真值，而且收敛速度一个比一个快。定义3.2.1 对于复合求积公式若当时有，则称是阶收敛的。定理3.2.3 复合求积公式（3.2.9）、（3.2.10）和（3.2.11）分别具有二阶、四阶和六阶收敛性。证明 由收敛性的定义，从（3.2.19）可以看出，复合梯形公式（3.2.9）具有二阶收敛性。同样，可证明复合辛普生公式（3.2.10）和复合柯斯特公式（3.2.11）分别具有四阶和六阶收敛性。对于一个数值求积公式来说，收敛阶越高，近似值收敛到真值的速度就越快，在相近的计算工作量下，有可能获得较精确的近似值。例3.2.4 利用复合牛顿柯特斯公式，计算的近
13、似值。解 这里用两种方法进行计算。先将积分区间八等分（分点及分点处的函数值见表3.2.2），用复合梯形公式得：再将积分区间四等分，用复合辛普生公式得：表3.2.204.000000003/82.876404491/83.938461545/82.560000001/43.764705887/82.265487633/83.5068493212.000000001/23.20000000两种方法都用到表3.2.2中九个点以上的函数值，它们的计算工作量基本上相同，但所得结果与积分真值相比较，复合辛普生公式所得近似值远比复合梯形公式所得近似值要精确。因此，在实际计算时，较多地应用复合辛普生公式。为了便于上机计算，常将复合辛普生公式（3.2.11）改写成：。3.2.3 误差的事后估计与步长的自动选择虽然可用余项公式（2 .12）（2.17）来估计近似值的误差，也可以根据精度要求用这些公式来确定积分区间的等分数，即确定步长。但由于余项公式中包含被积函数的高阶导数，在具体计算时往往会遇到困难。因此，在实际应用时，常常利用误差的事后估计法来估计近似值的误差或步长。将积分区间逐次分半，每分一次就用同一复合求积公式算出相应的积分近似值，并用前后两次计算结果来判断误差的大小。其原理和具体做法是：对于复合梯形公式（3.2.9），由余项公式（3.2.12）或（3.2.15）可以看出，当
