平面向量复习基本知识点及结论总结

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1、平面向量复习1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。（2）零向量：长度为 0的向量叫零向量，记作： 0，注意零向量的方向是任意的；（ 3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是AB ）；| AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a、b 叫做平行向量，记作： ab ，规定：零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向

2、量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 0 ）；三点 A、B、C共线AB、AC 共线；（ 6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。2、向量的表示方法：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b， c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示

3、为 a xi yj x,y ，称 x,y 为向量 a 的坐标， a x,y 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a= 1 e1 2 ea b ，特别地，当为锐角时， a b 0，且 a、b 不同向， 0 时， a 的方向与 a 的方向相同，当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反，当 0 时， a 0 ，注意： a 0。AOB 0 称为向量 a ，5、平面向量的数量积：（ 1）两个向

4、量的夹角：对于非零向量 a，b ，作b的夹角。当 0时， a ， b同向，当时， a ， b反向，当时， a，b垂直。2（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 |a|b|cos 叫做 a与 b 的数量积（或内积或点积），记作： a b ，即 a b a b cos 。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。（3） b在a上的投影为| b | cos 或a b ，它是一个实数，但不一定大于 0。|a|a，b ，其夹角为，则：（4）a b的几何意义：数量积 a b等于 a的模|a|与b在a上的投影的

5、积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量 a b a b 0；当 a，b 同向时，a baba b 0 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时， a b a b 0 是为钝角的必要非充分条件；2, a a ；当 a 与 b 反向时， a b 非零向量 a， b 夹角的计算公式： cos； |a b| |a|b|。：（1）几何运算：向量的加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”a b AB BC AC ；向量的减法：用“三角形法则” ：设AB AC CA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量6、向量的运算只适用于不共线的向量，如此之外，向量加

6、法还可利用 “三角形法则叫做 a 与 b 的和，即 a bAB a,AC b, 那么 a b 与被减向量的起点相同。（ 2）坐标运算：设 a （x1, y1）,b （x2,y2），则：向量的加减法运算：a b （x1 x2 ， y1 y2）。实数与向量的积： ax1,y1x1, y1 。若 A（x1,y1）,B（x2,y2），则 AB即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：a b x1x2 y1y2 。如已知向量 a （ sinx ，cosx ）, b （ sinx ，sinx ）, c（ 1：设 AB a,BC b ，那么向量 ACx

7、2 x1,y2 y1 ，1，0）。（1）若求的值（答：；向量的模：|a 3b|31 x ，求向量 a、 c的夹角；（ 2）若 x, ，函数 f（x） a b的最大值为，3 8 41（1）150 ;（2） 1 或 2 1）22 2 2 2 2 2|a| x2 y2,a |a|2 x2 y2。如已知 a,b均为单位向量，它们的夹角为 _（答： 13 ）；22 | x2 x1y2 y1 。7、向量的运算律：（ 1）交换律： a b b a， a a ，a b b a ；两点间的距离：若 A x1,y1 ,B x2,y2 ，则| AB(2) 结合律： a b c a b c,a b c a

8、 b c ， a b a b a b ；（ 3）分配律：a a a, a b a b ， a b c a c b c。提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即 a（b c）（a b）c 。8、向量平行（共线）的充要条件： a/b a b （a b）2 （|a|b|）2 x1y2 y1x2 0。9、向量垂直的充要条件： a b a b 0 |a b| |

9、a b| x1x2 y1y2 0.10. 线段的定比分点：（ 1）定比分点的概念：设点则叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比，（2）的符号与分点 P 的位置之间的关系长线上时0；当 P 点在线段 P 1 P2 的延1 0；若点 P分有向线段 P1P2 所成的比3）线段的定比分点公式：设 P1（x1,y1）、P2（x2,y2），P（x,y）分有向线段 P1P2 所成的比为，则x1 x2x2y1 y2 。在使用定比分点的坐2|AB|PC |BC |PA |线存在实数、使得x1 x2x 121 ，特别地，当 1 时，就得到线段 P1 P2的中点公式 y y1y2yy1标公式时

10、，应明确（x,y），（x1,y1）、（x2, y2 ）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。11. 平移公式：如果点 P（x,y）按向量 a h,k 平移至 P（x,y），则 x x h ；y y k曲线 y f x 按向量 a h,k 平移得曲线 y k f x h .12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）|a| |b| |a b| |a| |b|，（3）在 ABC中，若 A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ，重心坐标G x1

11、x2 x3 , y1 y2 y3 。 PG 1（PA PB PC） G 为 ABC的重心，特别地3 3 3PA PB PC 0 P为 ABC的重心； PA PB PB PC PC PA P为 ABC的垂心；向量（ AB AC ）（0）所在直线过 ABC的内心（是 BAC的角平分线所在直线）；|AB | | AC |CA|PB 0 P ABC的内心；（ 4）向量 PA、PB、PC中三终点 A、B、C 共 PA PB PC 且1.1P 是ABC 所在平面上一点，若，则 P 是ABC 的（）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心2下列命题中，一定正确的是A.B.若，则C. D.3在四边形

13、为（）A 30B 60 C 120 D 1508已知向量（，），（，），与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（B.相交C. 相切D. 随的值而定中，已知的值为（）B2C 4D 2A.相离9在 ABCA 2），10点 P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，3）（即点 P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为 | |个单位 .设开始时点 P 的坐标为（ 10，10 ），则 5 秒后点 P 的坐标为（） A 2， 4）11.设 BACB （10， 5） C （ 30，25）D （5， 10）AE 与 BC 相交于 E，那么有等于的平分线12为了得到函数 y sin（2x-）的图像 ,可以将函数 y cos2x 的图像A 向右平移个单位长度B 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上13已知向量，且 A、B、C 三点共线，则中，若定点与动点满足，则点 P 的轨迹方程是14 直角坐标平面k=15已知点 A（2，0），B（4，0），动

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