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1、高等数学(2)标准化作业题参考答案第八章 班级 姓名 学号第八章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算一、填空题1.点在第卦限，点在第卦限2.点到面、面、面的距离分别为，；到轴、轴、轴距离分别为，.3.点关于面的对称点是；与关于面对称；关于原点的对称点是4.点的向径与轴成角，与轴成角，长度为，若在轴上的坐标是负值，则点的坐标为提示：设，；，；由，有，.5.与向量平行，方向相反且长度为的向量为6设,则7.与向量平行的单位向量为 8.向量在轴、轴、轴上的投影依次为它的终点坐标为，则起点坐标提示：若，则.9. 若则=10在面上，与三点等距离的点为提示：设点，由得.二、单项选择题1.设向量互
2、相平行，但方向相反，当时，必有 A 2.下列各组角可以作为某向量的方向角的是 A A BC D三、计算题1.已知两点和计算向量的模、方向余弦和方向角解：， ，方向余弦为，方向角为，2.设，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量解：， ， 故在轴上的投影为13，在轴上的分向量为3.向量与三坐标轴的正向构成相等的锐角，其模长为3，求解：设 ，且，由，有，得，第二节 数量积 向量积一、填空题1；2向量,若两向量夹角为，则=3向量,则, 4已知点三点共线，则 4 ， 1 5已知点,与 同时垂直的单位向量为提示：与 同时垂直的单位向量为.6设,与轴垂直，则与的关系提示：.7为三个非零向量，,与的夹角为，与的
3、夹角为，且，则提示：.二、单项选择题1. 已知，则 C A 提示：.2.已知向量的模分别为，且，则 C A B C D提示：，.三、计算题1,求解：，所以2求向量在向量上的投影解：3已知，求解：，从而4化简：解：第三节 曲面及其方程一、填空题1面上双曲线分别绕轴、轴旋转一周所得旋转曲面的方程依次为和.2曲面是由面上的曲线绕轴旋转一周所得或由面上曲线绕轴旋转一周所得.3表示的曲面为 旋转椭球面 4表示的曲面为 椭圆抛物面 5表示的曲面为 圆锥面的上半部分 6.表示的曲面为 母线平行于轴的抛物柱面 二、计算题1一动点与两定点和等距离，求这动点的轨迹方程解：设动点为，则由题意知：,从而即 动点的轨迹
4、方程为：2.将坐标面上的曲线分别绕轴及轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：在面上的绕轴旋转一周，所得旋转曲面为：即，同理，绕轴旋转一周后，得旋转曲面方程为：，即3.说明下列旋转曲面是怎样形成的： 解：(1) 面上的曲线(或面上的曲线)绕轴旋转一周所得；(2) 面上的曲线(或面上的曲线)绕轴旋转一周所得4.画出由曲面,及所围立体(含轴部分).解：表示顶点在的下半圆锥面，表示旋转抛物面，表示圆柱面，从而三者所围立体即可得到，如图所示 图8-1第四节 空间曲线及其方程一、填空题1.母线平行于轴且经过曲线的柱面方程为.2.球面与锥面的交线在面上的投影方程为.3.旋转抛物面在面上的投影为，在面上的
5、投影为.4.圆锥面与柱面所围立体在面上的投影为，在面上的投影为.二、单项选择题1.曲线关于面的投影柱面的方程是 A . A. B.C. D.2.曲线在面上的投影曲线的方程是 B . A. B. C. D.三、将曲线方程化成母线分别平行于轴及轴的柱面的交线方程.解：将分别消去，得 再将联立得交线方程：第五节 平面及其方程一、填空题1.设一平面经过点,且垂直于向量，则该平面方程为.2.平面与平面的夹角为.3.平行于面且经过点的平面方程为.4.经过轴和点的平面方程为.提示：过轴的平面方程设为.5.点到平面的距离为 1 . 提示：.二、求平行于轴且经过两点和的平面方程.解：设所求平面方程为， 又平面过
6、两点, ， 所求平面方程为：三、一平面过点且平行于向量和,试求该平面方程.解：设平面的法向量为，则，从而 又平面过点，所求平面方程为，即.四、求平面与各坐标面夹角的余弦.解：平面的法向量，设平面与面的夹角分别为， 又面的法向量 同理第六节 空间直线及其方程一、填空题1设直线经过点，且平行于向量,则该直线的对称式方程为,参数方程为.2直线的对称式方程为.3过点且与两平面和平行的直线方程为.4直线与平面的夹角为 0 . 5点到直线的距离为.提示：过与垂直的平面为，该平面与直线的交点，则到直线的距离即为.6过直线且平行于直线的平面方程为.提示：过的平面束，,得平面为，即.7直线与轴相交，则 3 .二
7、、单项选择题1两直线与的夹角为 C .A B C D2直线与平面的夹角满足 C .A BC D3过点且与直线垂直的平面方程是 A .A B.C D.4设直线及平面，则直线 C . A平行于 B在上 C垂直于 D与斜交提示：判断直线的方向向量与平面的法向量的关系.三、计算题1求过点且与直线平行的直线方程解：设直线的方向向量，所求直线的方向向量，从而直线方程为：2求直线在平面上的投影直线的方程解：过已知直线的平面束方程为：，即要使其与平面垂直，则满足 投影直线方程为 3求过直线且切于球面的平面方程解：设所求平面方程为：即 由题意知：到平面的距离为2即所求平面方程为：第八章 自测题一、填空题（每小题
8、3分，共24分）1设=，=,问与有怎样的关系，+与z轴垂直2若已知向量=,=,则,夹角平分线上的单位向量为提示： ，夹角平分线上的单位向量为. 3若两个非零向量,的方向余弦分别为和，设,夹角为，则=4过直线且与平面垂直的平面方程为提示：，化为一般方程，即，过的平面束为： ，由得，代入，可得平面方程.5直线:与直线:的夹角=6点到直线的距离为提示：过与：垂直的平面为：，与的交点为，到的距离即为.7曲线在面上的投影曲线为8与两直线及都平行，且过原点的平面方程为二、单项选择题（每小题3分，共12分）1点在平面上的投影点是 B A B C D提示：过与平面 垂直的直线为，其与平面的交点即为投影点. 2
9、直线与平面的关系是 A A直线在平面上 B平行 C垂直 D三者都不是3两平行平面与的距离为 C A B C D提示：两平行平面的距离为平面上任一点到另一平面的距离 4平面上曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程为 A A B C D三、计算题（共64分）1求与坐标原点及点距离之比为的点的全体所组成的曲面方程，它表示怎样的曲面？（本题6分）解：设所求曲面上的点为，则由题意知：， 曲面方程为：，表示一球面2将空间曲线方程化为参数方程（本题5分）解：把代入，得，令，则， 空间曲线方程的参数方程为：3求中心点在直线上且过点和点的球面方程（本题6分）解：把化为对称式方程：，设球心坐标为，则，从而， ，所以球面方程
10、为4求通过直线且平行于直线的平面方程（本题7分）解：设所求平面的方程为：，即，又直线平行于平面， ， ，所求平面方程为：5点关于平面的对称点为，求的方程（本题7分）解：设的中点为，则，取，由题意知所求的方程为：，即6直线在平面上投影直线的方程（本题7分）解：设所求平面方程为：，即，又， ， ， 投影直线的方程为：7求过直线且与平面成角的平面方程（本题7分）解：设所求平面的方程为：，即，又，解得，又平面与平面的夹角余弦所求平面方程为：及.8求过点且与直线:垂直相交的直线方程（本题7分）解：由题意知，过点且垂直与的平面方程为：即，令，代入上述平面方程，解得所以平面与的交点为，由于所求直线的方向向量，所以取，所以直线方程为9直线过点且和直线:,:相交，求此直线方程（本题7分）解：设所求直线为，则与，分别相交，：，：，所以取，；，令，过与的平面方程为：，即；过与的平面方程为：，即；所以直线的方程为：28
