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1、第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与计算1导数的概念(1)平均变化率一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.(2)函数yf(x)在xx0处的导数定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，此值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)
2、在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)，(ln x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)小题体验1(教材习题改编)一次函数f(x)kxb在区间m，n上的平均变化率为_解析：由题意得函数f(x)kxb在区间m，n上的平均变化率为k.答案：k2(教材习题改编)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx5，则f(3)_，
3、f(3)_.解析：由图知切点为(3,2)，切线斜率为1.答案：213设函数f(x)在(0，)内可导，且f(x)xln x，则f(1)_.解析：由f(x)xln x(x0)，知f(x)1，所以f(1)2.答案：24(2015天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析：f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案：31利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切
4、线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别小题纠偏1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)_.解析：对关系式f(x)2xf(e)ln x两边求导，得f(x)2f(e)，令xe，得f(e)2f(e)，所以f(e).答案：2已知f(x)x23xf(2)，则f(2)_.解析：因为f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)，所以f(2)2，所以f(x)x26x，所以f(2)22628.答案：83已知定义在R上的函数f(x)exx2xsin x，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_解析：令x0，得f(0)1.对f(
5、x)求导，得f(x)ex2x1cos x，所以f(0)1，故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx1.答案：yx1题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)y.解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.(4)y，y.谨记通法求函数导数的3种原则命题分析导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值题点全练角度一：求切线方程1(2016南通调研)已
6、知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所求面积S10.答案：角度二：求切点坐标2若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_解析：由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)答案：(e，e)角度三：求参数的值3(2016南京外国语学校检测)已知函数f(x)x4ax2bx，且f
7、(0)13，f(1)27，则ab_.解析：f(x)4x32axb，由ab18.答案：18方法归纳导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为_解析：f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)答案：3(x2a
8、2)2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.解析：由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案：13(2016徐州一中检测)曲线yf(x)x(x1)(x2)(x6)在原点处的切线方程为_解析：y(x1)(x2)(x6)x(x1)(x2)(x6)，所以f(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0720.故切线方程为y720x.答案：y720x4(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2
9、，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案：15已知曲线yx3x2在点P0处的切线l与直线4xy10平行，且点P0在第三象限，则点P0的坐标为_解析：设P0(x0，y0)由yx3x2，得y3x21.由已知，得3x14，解得x01.当x01时，y00；当x01时，y04.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)答案：(1，4)二保高考，全练题型做到高考达标1某物体做直线运动，其运动规律是st2(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度为_ m/s.解析：s2t，在第4 s末的瞬时速度vst48 m/s.答案：2(2015苏州
10、二模)已知函数f(x)(x22)(ax2b)，且f(1)2，则f(1)_.解析：f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x为奇函数，所以f(1)f(1)2.答案：23已知f(x)x(2 015ln x)，若f(x0)2 016，则x0_.解析：f(x)2 015ln xx2 016ln x，故由f(x0)2 016得2 016ln x02 016，则ln x00，解得x01.答案：14(2016金陵中学模拟)设点P是曲线yx3x上的任意一点，P点处切线倾斜角的取值范围为_解析：因为y3x2，故切线斜率k，所以切线倾斜角的取值范围是.答案：5已知f(x
11、)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为_解析：f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.答案：26(2016太原一模)函数f(x)xex的图象在点(1，f(1)处的切线方程是_解析： f(x)xex，f(1)e，f(x)exxex，f(1)2e，f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为ye2e(x1)，即y2exe.答案：y2exe7.(201
12、5无锡调研)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x) 是g(x)的导函数，则g(3)_.解析：由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)130.答案：08设函数f(x)(xa)(xb)(xc)(a，b，c是两两不等的常数)，则_.解析：f(x)x3(abc)x2(abbcca)xabc，f(x)3x22(abc)xabbcca，f(a)(ab)(ac)，f(b)(ba)(bc)，f(c)(ca)(cb)0.答案：09求下列函数的导数(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)解：(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x.(2)y(x1)(x2)(
