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1、纸质老照片电子化过程中的优化模型摘要本文主要讨论的是针对不同尺寸大小的纸质老照片通过扫描仪扫描生成图像文件，然后通过图像处理软件对图像文件中的照片进行处理获得电子版的照片，对此过程中的处理流程进行优化设计，在满足相关约束条件下以获得最优的处理流程，基于对此的研究，建立数学模型设计出最佳的处理流程，使得总用时最少。问题1、是对照片长度完全一致的情况下，对给定的不同宽度照片按照在分辨率给定的情况下，首先通过附件1给出的照片数据确定选用扫描的幅面，多次扫描n张照片的具体过程进行分析，分别以照片张数、总的扫描次数、在600dpi分辨率下每种幅面扫描次数，设出未知量，在给定的约束条件下，建立了一个关于时
2、间总长的数学模型，给出表达式，通过MATLAB软件数值求解，找到10张照片在采用600dpi分辨率进行电子化过程的最优解。最后通过01动态规划模型编写程序求解符合最短时间内每次扫描的照片分配。问题2、是对照片长度完全一致的情况下，对给定三种不同宽度照片按照在分辨率给定的情况下，多张照片情况下对一定数量规格的照片进行优化。通过建立线性规划模型，利用LINGO软件解出最少扫描次数及每次扫描平面中所放的照片尺寸。通过MATLAB软件数值求解，找到50张照片在采用300dpi分辨率进行电子化过程的最优解。在算法上主要对模型分析得到数学表达式，运用MATLAB、LINGO等编程软件求解得出最优结果，对数
3、据的分析和模型的建立能够直观和清晰的得出照片电子化过程的最优方法，而且对其做出了评价和方法改进，能够更好的看出结果。关键词：优化设计 多次扫描 数值求解 0-1动态规划模型 线性规划模型一、 问题重述今有一批纸质矩形珍贵老照片拟采用如下流程进行电子化：首先通过扫描仪进行扫描以生成图像文件，然后通过图像处理软件将扫描得到的图像文件中的照片处理成符合要求的图像。现有一台平面扫描仪，该扫描仪的扫描幅面大小见表一。表一 扫描仪的扫描幅面大小幅面类型长（单位：cm）宽 (单位：cm)A429.721LTR27.9421.59B525.718.2使用扫描仪进行一次扫描的标准流程如下：选择扫描幅面和分辨率，
4、打开扫描仪的盖板，把准备扫描的照片（通常是若干张，也可以是一张）放在扫描仪玻璃板的相应区域，盖上盖板；按扫描仪的开始扫描按钮，等待扫描完成；完成后打开盖板，取出玻璃板上的照片，盖上盖板。扫描仪进行一次扫描流程所用时间见表二。表二 扫描仪进行一次扫描流程时间操作时间（单位：s）选择扫描幅面2选择分辨率2打开扫描仪盖板1盖上扫描仪盖板1放照片（一张）2取出照片2在图像处理软件中设定复制尺寸通常需要2秒，选择复制区域通常需要1秒，将选中的区域复制到新文件中需要1秒，顺时针旋转任意图像文件90度、180度、270度均需要2秒，存储选定的区域需要1秒。如果下一次要设定的复制区域的尺寸与上一次设定的复制区
5、域的尺寸一致，则可以省略设定复制区域尺寸的时间。现有平面扫描仪和电脑(装有图像处理软件)各一台，操作人员一名（可熟练使用该扫描仪和电脑中的图像处理软件），已知该扫描仪的最大扫描幅面为A4（长29.7厘米，宽21厘米），也可以扫描LTR幅面（长27.94厘米，宽21.59厘米）和B5幅面（长25.7厘米，宽18.2厘米）；该扫描仪扫描时可选的图像分辨率为150dpi、300dpi和600dpi三种,表三给出扫描幅面和分辨率的关系，现要求为其安排流程使其尽早完成电子化。表三 扫描幅面和分辨率的关系分时 辨幅 长 率面150dpi300dpi600dpiA44578120LTR406798B5344
6、6661、现有10张长度完全一致的照片（相关数据见附件1）按照给定流程进行电子化成分辨率均为600dpi的图像，如何安排整个流程以使得这10张照片尽早完成电子化？ 2、现有50张长度完全一致的照片（相关数据见附件2）按照给定上述流程进行电子化成分辨率均为300dpi的图像，如何安排整个流程以使得这50张照片尽早完成电子化？二、 问题分析根据给定的附件1、2来看，照片的长度都是一样的，因此我们只需要考虑的是不同宽度照片尺寸需要满足的条件，我们根据题目给出的流程分析，在满足不同幅面尺寸要求下。针对问题1，附件1中照片长度均为28cm，只能采用A4幅面，才能将附件1中照片扫描完整。因此在A4幅面下，
7、扫描的总时长只和扫描次数有关，扫描次数由所给的照片宽度及扫描幅面的宽度决定。容易知道在数量较少的问题中用枚举法可以找出用时最短的方案，但在数量多的时候计算量太太，不易找出，因此我们采用动态规划法解决这个问题，分析了10张照片的摆放只有4种情况，即最大照片数P=1，2，3，4，并且从照片摆放的最多张数分别讨论了P=1，2，3，4种情况下照片电子化过程用时情况，得出在最大张数为3和4的情况下用时最少，从时间变化上建立数学模型，通过此模型计算出了在不同情况下电子化过程用时最少的方法，并得出最少时间和所对应的组合。对于问题2，附件2给出50张长度一样，但宽度不一样的照片，并且给出宽度为5cm、8cm、
8、11cm的照片各20、20、10张，考虑到照片长度都是26cm，因此可以选择A4幅面和LTR幅面对照片进行扫描，并且针对两种扫描方法建立其关于时间的函数，通过比较选择使总用时最少的幅面扫描，因此只需考虑不同照片组合情况下的模型求解，采用LINGO编程求解，通过此模型计算出了在不同情况下电子化过程用时最少的方法。对于哪些照片组合在一起以及组合次数最少是该题的问题，因此如何正确有效的建立在不同宽度下求出组合问题的理论表达式以及总时间的表达式并设计算法求解成为模型建立的关键。三、模型假设1假设扫描仪较大的边长是竖着的，对图片处理时的旋转没有影响；2假设照片摆放时各边均与扫描仪的矩形边缘相平行或垂直；
9、3假设每张照片都是规整的矩形；4. 假设照片质量好坏不影响扫描和图像处理过程的时间.四、符号说明符号说明单位T电子化过程的总时间s扫描过程的总时间s图像处理过程的总时间s第k种扫描幅面的长度cm第k种扫描幅面的宽度cmk采用哪种幅面，k=1,2,3_第r张照片的长度cm 第r张照片的宽度cmrr表示照片的序号,r=110_n1扫描仪长边摆放竖着的照片个数_n2扫描仪长边摆放横着的照片个数_m1扫描仪短边摆放竖着的照片个数_m2扫描仪短边摆放横着的照片个数_每次扫描的照片张数张n照片张数张i表示选用的幅面_j表示选用的分辨率dpi相应的幅面和分辨率的扫描时间sSum扫描的总张数张P扫描组合中扫描
10、照片的最大张数（P=1，2，3，4）_A4幅面对应600dpi下的用时s五、 模型建立和求解5.1 问题一的模型建立及求解5.1.1 问题分析该问题是一个对于长度一定，宽度不同以及扫描用时最短问题的不同组合做出一个合理的设计方案，根据照片组合问题我们分为了5种情况进行讨论：I. 每次扫描一张照片，需要10次扫描；II 每次扫描两张照片，需要5次扫描；III每次扫描三张照片，需要4次扫描；IV 每次扫描四张照片，需要4次扫描；V 每次扫描五张照片，需要2次扫描。但是进一步分析知道，扫描三张照片的组合情况只可以是（3,3,2,2），四张照片的组合情况只有（4,2,2,2），而五张以上不存在组合情况
11、，因此在下面的讨论中，只讨论4种情况。5.1.2 理论分析根据第一问的要求，可知要求的目标函数为时间的最小值，则有=+ (1-1)a. 扫描过程分析：由题目已知，分辨率（dpi）已经确定为600dpi，即DPI=600dpi (1-2)则有约束条件： (1-3) (1-4)用图表示即为：图一即根据表一扫描仪的扫描幅面大小可知：由于附件给出的照片长度都是28cm ,最短的照片宽度为： (1-5) (1-6)即 28+3+1=3229.7由（1-6）式可知，这种组合方式，如图二 图二不满足约束条件（1-3）、（1-4），所以不存在组合。又已知LTR扫描幅面为、，B5扫描幅面为、，因为 (1-7)因
12、此由（1-2）和（1-7）可知，只能选用A4幅面扫描法，并且由（1-6）知，只存在一种摆放照片的方法，且采用的分辨率为600dpi，则有 (1-8)如图三：图三b.扫描时间一次扫描一张照片的时间为: （1-9）一次扫描n张照片的时间为： (1-10)假设m次扫描中，每次都是n张，则：m次扫描n张照片的时间为：如果每次扫描不一定相同的照片张数，则有： (1-11)c.扫描次数假如采用一次一张的方法，则有 -得: 0采用m次 张照片的扫描方法更好由（1-11）可以直观的看出，扫描操作时间为m的一元一次函数，且随m的增加，时间也增加 （1-12）综上可得，要取得最短时间，必须控制扫描的次数最少，由于
13、已确定使用A4幅面扫描，其宽度为，每张照片宽度为（i=1,2,3,10）,照片所占宽度为（+0.5）少于4次不可能把所有照片扫面完，即5.1.3 建立模型及求解运用动态规划方法建立模型，把照片扫描过程划分为多阶段处理，分别建立了在扫描照片最大张数下的数学表达式，然后运用LINGO软件求解。a.通过枚举思想建立模型通过对照片扫描过程的分析，我们将扫描情况划分为5种情况求出电子化过程的总时间T，并且图像处理时间都是50s, =120s:(1) P=1：第一次：4+1+(2+1+1+2)第二次： (2+1+1+2)第十次： (2+1+1+2)+1=5+10（6+）+1+50=1316s(2) P=2:第一次:4+1+(4+1+1+2)第二次： (4+1+1+2)第五次： (4+1+1+2)+1=5+5(8+)+1+50=696s(3)P=3:第一次：4+1+（6+1+
