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1、第7课时 合情推理与演绎推理一、复习要求1.了解合情推理的含义，利用归纳与类比等进行简单的推理。2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能进行简单的推理。二、知识回顾1、我们学过的合情推理包括 和 。2、从 出发，推出某个 ，这种推理成为演绎推理。是由 到 的推理。3、三段论推理的一般模式(用符号表示)：（1）大前提： .（2）小前提： .（3）结论： .4、尽可能少地选取 和不加证明的 （公理、公设），以此为出发点，应用 ，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法。三、典型例题例1 从平面外一点向这个平面引两条斜线，它们的夹角为，这两条斜线在平面内的射影夹角为，如果、(0，)，判
2、断、的大小（ ）。A. = B. C. D. 、大小不定 设AB平面BCD，BC、BD是AC、AD在平面BCD 内的射影，CBD=，CAD=。(见图1) 观察图1，凭直觉似应选B：；再观察图2，我们视ABD和ABE是两个叠合在一起的直角三角形，可立得=EADEBD=0；如果我们把问题特殊化，设AB=BE=1，AD=2，BD= ，点C是点E以AB为轴旋转所至，那么，当点C刚刚离开点E一丁点时，凭直觉仍有；但把点C旋转至与点B、E共线位置时，则有=/3+/4=；再考虑到、从到的大小变化是连续的，则直觉告诉我们应该在某一时刻恰好=。现证明如下：设CD=x，在CAD和CBD中，依余弦定理得，COS=
3、，COS= ，如果 = ，化简得x=0，故方程在，上有解，所以，点C离开点E旋转到某一位置，可使COS= COS，根据0，得，=；综上所述，本题中、大小不定，应选D。点评：本题的解决虽然没有离开逻辑思维，但对逻辑思维模式有所突破，充分体现了合情推理、直觉判断、大胆猜想、小心求证的数学方法，这其中推理者的思维过程，是内在的、有序的、深刻的，且具有鲜明的个性化特征，绝非套用来自“题型教学”的所谓固定程式所至。经常进行此类问题的解题训练，强化合情推理的教育功能，对学生摆脱“题型教学”的羁绊是大有裨益的。例2 观察以下各等式：，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明
4、。猜想：。 证明： 例3 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 解：（1）. （2）， ，当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 四、基础测试
5、课后评测7一、 选择题1、 下列表述正确的是（ ）. 归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理. A； B； C； D.2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“” C.“若” 类推出“ （c0）”D.“” 类推出“”3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4、当1
6、，2，3，4，5，6时，比较和的大小并猜想 （ ）.A.时， B. 时，C. 时， D. 时，二、 填空题5、一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的个数是 。6、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为: .7、从，,，,推广到第个等式为_.8、已知a1=3，an+1=，试通过计算a2,a3,a4,a5的值，推测出an_.9、对于平面几何中的命题“如果两个角的两边
7、分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “ ”,这个类比命题的真假性是 。10、平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不共点的直线把平面分成7部分， n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成 部分。11、若数列an，(nN)是等差数列,则有数列bn=(nN)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列,且cn0(nN),则有dn=_ (nN)也是等比数列。 参考答案课后评测71、D 2、C 3、A 4、D 5、146、7、8、 9、如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补。（
8、答案不唯一）假命题。 10、 11、第8课时 直接证明与间接证明一、复习要求1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法，了解两种方法的思考过程与特点。2.了解间接证明的一种基本方法：反证法，了解他的思考过程与特点。二、知识回顾1.证明分为 与 ，直接证明包括 、 等；间接证明主要是 .2.综合法：（1）一般的，利用 等，经过一系列 ，最后 ，这种证明方法叫做综合法。（2）.综合法的模式;若用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：3.分析法：一般的，从 出发，逐步寻找使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为 （已知条件、定义、定理、公理等
9、）。这种证明方法叫做分析法。4.反证法：一般的，假设 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过 ，最后得出 ，因此说明 ，从而 ，这样的证明方法叫做反证法。5、数学归纳法证明的步骤：（1）归纳奠基： ；（2）归纳递推： . 三、典型例题例1、设a，b，x，yR，且，试证。分析：可以用综合法与分析法-略例2、若a,b,c均为实数，且，,求证：a，b，c中至少有一个大于0。分析：可以用反证法-略例3、求证：对任意自然数n都成立。分析：从问题的反面促进学生对归纳原理的理解， 学生验证了n=1时成立后，假设n=k时，等式成立；而令n=k+1得到当学生大惑不解时，老师提出，若n=k+1时等式成立，就应该
10、有，解出k=1或2，这说明根据k=1时等式成立能推出k=2时等式成立；根据k=2时等式成立能推出k=3时等式成立；而k=3时虽等式成立，但推不出k=4时等式成立，所以，原命题不正确，这例子是何等深刻。四、基础测试课后评测8一、选择题1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度；(D) 假设三内角至多有两个大于60度。2、对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：；不能同时成立，下列说法正确的是（ ） A对错B错对C对对 D错错3、某个命题与正整数
11、n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得（ ）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=8时该命题不成立D当n=8时该命题成立4、则下列等式不能成立的是（ ）A BC D （其中）二、填空题5、数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n1时，Sn= . 6、利用数学归纳法证明“1aa2an1= (a1，nN)”，在验证n=1成立时，左边应该是 .7、由图（1）有面积关系。则由图（2）有体积关系：= . 8、已知,，则 三、解答题9、求证：(1) (2) 10、已知数列an满足Snan2n1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。11、已知函数，证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴。（2）这个函数的图像关于直线成轴对称图形。参考答案课后评测81、B
