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1、平面向量的概念及其线性运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.已知Q A B是同一平面内的三个点，直线 AB上有一点C满足2. + 技 =0,则=（）a. 2OA-Ob2) 1%。A 3O BB. _OA + 27OB1 _ 22D . a OA+ - OB33.一 ,、一_ 一 .解析：选 A 依题意，得 OC= OB+ BC= OB+2AC= OB+2( OC OA),所以 OC=2 OA- OB.12. (2019 石家庄质检)在ABC43,点D在边AB上，且 BD= DA,设CB = a, CA=b,则存=()A.1a + 2b33B.3a+3b34与a +5b43D.5a+5b人 ,一
2、 ，1解析：选 B ; BD=2 DA,Ibd=Ba, .而=W +前=怎+1bA =怎 十 331(6 品)*族 + 1 方= |a+1b.333333.在四边形 ABCD, KB = a+2b,1BC =4ab, CD = 5a3b,则四边形 ABCD的形状是（）A.矩形B .平行四边形C.梯形D .以上都不对 , 一 一 _ _ 2_ 2_ 2. 解析：选 C 由已知，得 AD= AB+ BC+ CD=- 8a2b= 2( 4ab) =2 BC,故 AD / BC.又因为 渴与CD不平行，所以四边形 ABCDI梯形.4. （2018 扬州模拟）在ABC, N是AC边上一点且 示 =1而，
3、P是BN上一点，若AP = mAB+2元，则实数 m的值是. 9解析：如图，因为 NN=1 -NC, p是BN上一点.所以 须 =17运， 23AP = mAB + |AC = mAB + 27_ 2_ 2一 1 .已知向量 a, b,且 AB = a+2b, BC = 5a+6b, CD=7a-2b,则一定共线的二点是（）A. A,B,DB . AB,CC. B,C,DD . AC,D解析：选A AD= AB+ BC+ CD= 3a +6b=3 AB.因为AB与AD有公共点 A,所以A, B, D三点共线.2 .已知向量a, b不共线，且c= a+ b, d= a+ （2入一1）b ,若c与
4、d共线反向，则实数人的值为（）1A. 1B . 2,1c. 1 或2解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c = kd（kv0）,于是入 a+b=k a +2 入一1b.整理得入a+b = ka+（2入kk）b.由于a整理得2人之一 X 1=0,解得入=1或入=-2.又因为一,1k 0,所以入 PA / CB,且方向相同，.:BC | CB|s 即4Sy pab=3,入=k,b不共线，所以有2 入 kk= 1,S ABCSpa- = 2.36.已知O为ABCrt一点，且2旬 =OB +_5c, 7 解析：设线段 BC的中点为 M 则OB+ OC=2 OM. - 因为 2 AO= OB+
5、OC,所以 AO= OMl,则 7 11 _ 11 _ _ 列命题： AD = 2ab; BE = a+ b; CF = 2a + b; AD+ BE + CF = 0.其中正确命题的个数为.解析： 黄=a, CA =b,血= 2CB +NC = （ab,故错；BE = BC+2_CA =a+；b,故正确；1 111CF = 2（ CB+ CA） =2（ a +b） = a+b,故正确；1111,.AD+ BE + CF = b la + a + b + b2a = 0,故正确.，正确命题为答案：39.设a, &是两个不共线的向量，已知 1Ab =2ei 8e2,石B = ei + 3e2,
6、CD = 2ee2.(1)求证：A, B, D三点共线；(2)若BF =3eike2,且B, D, F三点共线，求k的值.解：(1)证明：由已知得 BD =石3-CB =(2ei e2) (ei+3e2)= ei4e2,AB = 2ei8e2, AB = 2 BD.又漏与或有公共点B,1 .A, B, D三点共线. ，,_(2)由(1)可知 BD=ei-4e2,BF = 3ei- ke2,且 B, D, F二点共线，2 .BF = x _Bd (入 e r),即 3ei ke2=入 ei 4 入 e2,入=3,得k = 4 入.解得k=12. _. ， 、1 ,10.已知 a, b 不共线，
7、OA=a, OB=b, OC=c, OD=d, OEE =e，设 tCR,如 果3a=c,2b=d, e=t(a + b),是否存在实数t使C, D, E三点在一条直线上？若存在，求 出实数t的值，若不存在，请说明理由.A, r 一，,解：由题设知，CD=dc=2b 3a, CE = e- c=(t-3)a+tb, C, D, E三点在一条 .一 一直线上的充要条件是存在实数k,使得CE = kCD,即(t 3)a+tb=3ka+2kb,整理得(t 3+ 3k)a = (2 k-1 )b.t -3+3k=0, 因为a, b不共线，所以有t -2k=0,故存在实数t：6使C, D, E三点在一条
8、直线上.5三上台阶，自主选做志在冲刺名校，一， .一一 1 一1 .如图，在 ABC4点D在线段BC上，且满足BD= -DCJ过点D的直线分别交直线 AB, AC于不同白两点 M N,若AM= mAB, AN = nAC,则()A. mH n是定值，定值为2B. 2m n是定值，定值为 3c.m+n是定值，定值为2D.知n是定值，定值为 3 解析：选D 因为M D, N三点共线，所以 AD=入AM+(1 入)AN.又AM= mAB, - 一 -.1 _ _ -力 1 1AN=n AC,所以 AD=入 mAB+ (1 入)n AC.又 BD= DC,所以 AD- AB=2 AC万ND，所以ND=
9、ac+2Tab.比较系数知 入m= 2,(1入)n=1,所以2+=3,故选d.3333 m n2 . （2019 长沙模拟）在平行四边形 ABC珅，M为BC的中点.若 AB=入AM+DB,解析：如图，在平行四边形 ABCDAB= DC,所以 AB =DC)=隔+-2(1db 族)=则入一=1 _ 1AM+ MB= AM + 2CB= AM+2( DB - I +2 Db 1漏,所以3漏= AM+1僚, 所以 漏=|aMi + 3 Idb , 所以入=|, w =3所以入一 （1 =.3：:3 .已知Q A, B是不共线的二点，且 OP= mOA+ n OB ( mi, nCR). 若m n=1,求证：A, P, B三点共线；(2)若A, P, B三点共线，求证：m+ n=1. 证明：若n= 1, 则 OP=mOA+ (1 m OB= OB+m( OA- OB), OP- OB=m( OA- OB), , 即 BP=mBA,BP与 BA共线.又 Bp与国有公共点b, .A, P, B三点共线.(2)若A, P, B三点共线， 则存在实数 入，使BP =入BA, COP TOb =入(-QA -QB). 又 Q
