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1、几何体中的的截面问题1概念及相关要素 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做那个几何体的截面此平面与几何体表面的交集(交 线)叫做截线此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点2作多面体的截面方式(交线法)：该作图关键在于确信截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可 连结成截线，从而求得截面题型一、截面的形状1. P、Q、R三点别离在直四棱柱AC的棱BB、CC和DD上，试画出过P、Q、R三点的截面.1 1 1 11解答：连接QPx QR并延长，别离交CB、CD的. 连接EF交AB于T,交AD于S.(3)连接RS、TP。那么多边形PQRST即为所求截面。RB2.已知P、Q、R别离是四
2、棱柱ABCDA1BlC1D1的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求 作过这三点的截面2解答：连接QP并延长交DA延长线于点I。 (2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。(3)连接QP、磁。那么四边形PQRM即为所求。b*注：假设已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就能够够取得截面与多面体的一个面的截线。 假设面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确信的点。 假设两个已知点别离在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。个球，过那个球的球心作一平面，那么截面图形不可能是 解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方
3、形，应选 D。 题型二、截面面积、长度等计算4.过正方体ABCD - A1B1C1 的对角线BD的截面面积为S,Smax和Smin别离为S的最大值和最小值，那么max minmaxSmin的值为 (4答案：C解析：设M、N别离为AAi、CCi的中点.易证截面BMD1N是边长为g5的菱形(正方体棱长设为1),其面积S(min)= 而截面bB1d1d是矩形，其面积S(max)=迈5.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1的内切 截球O的截面面积为5答案：6解析：平面ACD1是边长为1迈的正三角形，且球与以点D为公共 为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的
4、内 图得，CD1内切圆的半径是xtan30，那么所求的截面圆2 6V6 V& 兀nx x =-6 6 66 已知球的半径为2，彼此垂直的两个平面别离截球面得两个圆假设 圆心距等于()的面积是点的三个面的切点恰切圆的面积，那么由球，那么平面ACDD20圆的公共弦长为2，那么两圆的A. 1B.二26 答案： C 解析：O与O的公共弦为AB，球心为0, AB中点为C,12那么四边形0 00 C为矩形，I 00 1=1 OC I, I OA I二2,1 2 1 2因此 I AC I= 1,AC 丄 0C .OC I= Ji 0A |2 I AC |2 = J3 7已知正四棱锥PABCD的棱长都等于a侧
5、棱PB、PD的中点别离为M、N,那么截面AMN与底面ABCD所 成二面角大小的正切值为0 27答案：2交于O,连接PO, N，因此MN/BD, l二平面AMN。成二面角的平面解析：过A在平面ABCD内作直线l HBD，连接AC,BD MN.记PO、MN交于0 因为PB、PD的中点别离为M、 因为lHBD，因此l /MN，A e l，因此l u平面AMN， 平面ABCD.易知ZOAO即为面AMN与底面ABCD所 角.2 2 1AO = PO =a n OO = a n tan OAO =-2428.如图，正方体ABCD- ABC D的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段Cq上的动点，过点A,P,
6、Q的平面截该正方体所得的截面记为S。那么以下命题正确的选项是1 当0 CQ 2时，S为四边形1 当CQ二2时，S为等腰梯形3 1 当CQ = 丁时，S与CD的交点R知足CR =-4 1 11 133 当丁 CQ 1时，S为六边形4当CQ二1时，S的面积为8答案： 解析：设截面与DD相交于T贝UAT / PQ且AT = 2PQ n DT = 2CQ.11对，当0 CQ 2时，则0 DT 1因此截面S为四边形，且S为梯形.因此为真.1对，当CQ二三时,DT = 1,T与D重合，截面S为四边形APQD ,所以AP = D Q.截面S为等腰梯形.因此为 2 1 1 1真.3 1311对，当CQ =时n
7、 QC, DT = , D T =利用三角形相似解得C R因此为真.4 142121 1333对，当 CQ 1时访 DT 2 .截面s与线段A D ,D C相交，因此四边形S为五边形.因此为假.42111111111对，当CQ = 1时，Q与C重合，截面S与线段A D相交于中点G即为菱形APC G A .对角线长度别离为2和/3?S的面积为因此为真.9.如图，ABCD - ABCD为正方体。任作平面a与对角线 1111AC垂直，使得a与正方体的每一个面都有公共点，记如此取 的截面多边形的面积为S，周长为l .那么（）A. S为定值，l不为定值B. S不为定值，l为定值C. S与l均为定值D.
8、S与l均不为定值HDAj9答案:B解析:将正方体切去两个正三棱锥A- ABD与C-DEC后，取得一个以平行平面ABD与DBC为上、下底 面的几何体V, V的每一个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边别离与V的底面上的一条边平 行，将V的侧面沿棱AB剪开，展平在一张平面上，取得一个平行四边形ABBA，而多边形W的周界展开 11后便成为一条与AA平行的线段(如图中E E)，显然A A = E E，故l为定值。1 1 1 1当E位于AB中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积别离为312与兰3/2，故S不为定值。2436题型三、截
9、面图形的计数10. 设四棱锥P- ABCD的底面不是平行四边形，用平面Q去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，那么如此的平面a()A.不存在 B.只有1个 C.恰有4个 D.有无数多个10答案：D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n,直线m、n确信了平面B，作与p平行的平面a与四棱锥 侧棱相截，那么截得的四边形是平行四边形.如此的平面a有无数多个.11. 过正四面体ABCD的极点A做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD成75角，问如此的截面可作几个？11 答案： 6 个 解析：能够证明的棱、侧面与底面成角均小于75度，如此过极点与底面成75度角，且平行与底面一条边的截
10、 面也确实是符合题意的截面，有两个。三条边确实是6个。题型四、截面图形的性质 12.如图4,在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上, 再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下四个命题 水的部份始终呈棱柱状； 水面 EFGH 的面积不改变； 棱AD始终与水面EFGH平行； 当容器倾斜到如图4 (2)时，BEBF是定值；其中正确的命题序号是1图 4 (2)12答案： 解析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部份的几何体始终知足棱柱概念，故正确；在转动进程中EH/FG，但EH与FG的距离EF在变，因此水面EFGH的面积在改变，故错误；在转动进程中
11、，始终有BC/FG/AD,因此A/面EFGH，正确；当容1器转动到水部份呈直三棱柱时如图5 (2)，因为V水二-BE - BF - BC是定值，又BC是定值，因此BEBF是定值，即正确。13.有一容积为1立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,在棱 B1C的中点各有一小孔E、F、G,假设此容器能够任意放置，那 最大容积是1A 213答案： C7B. 811C.1247D. 48解析：此题很容易以为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装1 1 1 76 (1)，最大值为V二11 = 6立方单位，这是一种错误的2 2 2 8是对题中“容器是能够任意放置”的明白得不够，其实，当水平面1 1
12、 1 11EBC时容器的容积最大，最大容积为V =1 - 1 1 =-121AB、BB1 及对角线 么该容器可装水的水的容积最大图解法，错误缘故调整为图 6( 2)14(08 年江西)如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器底部 正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好 的极点P。若是将容器倒置，水面也恰好于点P (图2)。题：A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好于点PC. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好通过点PD. 假设往容器内再注入a升水，那么容器恰好能装满其中真命题是：14 答案： BD图1镶嵌了同底的 通过正四棱锥 有以下四个命C1V5正四棱柱的体积为V + + V = - V解析：a升水对应的体积为V，那么正四棱锥的体积V- 容器的盛水量为2V 易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面通过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。
