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1、第五章. 解线性代数方程组的直接方法 1.引言 （一般有限步内得不到精确解）解线性方程组的两类方法：直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。2. Gauss (高斯)消去法相当于第i个方程-第一个方程数新的第i方程同解！第一方程不动！ Gauss 消去法计算过程 在A(1):b(1)中,红方框中的元素是要化为0的部分；A(2):b(2)中,红方框中的元素全部已发生变化,故上标由(1)改(2).即对增广阵进行初等行变换: (i=2,3,n) (i,j=2,3,n) (i=2,3,n) (i=2,3,
2、n)第k次消元(1kn-1) 设第k-1次消元已完成,且 0,此时增广矩阵如下: 本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处理,消掉第k+1个方程到第n个方程中的xk项,即把 到 化为零.计算公式如下: ( (i=k+1,i=k+1,n) ,n) ( (i,j=k+1,i,j=k+1,n),n) ( (i=k+1,i=k+1,n),n) ( (i=k+1,i=k+1,n),n) 只要 0,(k=1,2,n-1)消元过程就可以进行下去.当k=n-1时,消元过程完成,得: 它的方阵部分A(n)是一个上三角形矩阵,它对应的方程组是一个上三角形方程组,只要 0,就可以回代求解公式为: (i=n-1
3、,n-2,1)综合以上讨论,高斯消元法解线性方程的公式为: 1消元 令 (i,j=1,2,n)(i=k+1,k+2,(i=k+1,k+2,n),n) ( (i,j=k+1,k+2,i,j=k+1,k+2,n),n) ( (i=k+1,k+2,i=k+1,k+2,n),n)2回代,若 0 ( (i=n-1,n-2,i=n-1,n-2,1) ,1) 对k=1到n-1,若 0 ,进行: (i=k+1,k+2,n)系数矩阵与常数项：返回(即为P169 定理6)消去第一列的 n-1 个系数要计算n*(n-1） 个乘法。Gauss消去法乘法计算量3. 高斯主元素消去法3.1 列主元消元法设已用列主元消元法
4、完成Ax=b的第k-1次消元(1kn-1), 此时方程组Ax=bA(k)x=b(k),有如下形式: 若 =0,则必有方框内的元素全为零,此时易证即方程组Ax=b无确定解,应给出信息退出计算(k j n)然后用高斯消元法进行消元. 这样从k=1做到k=n-1,就完成了消元过程,只要A0,列主元高斯消元法必可进行下去.进行第k次消元前,先进行、两个步骤:A=A(k)=0,若0,则交换ik行和k行元素,即:在方框内的一列内选出绝对值最大者,即确定ik, 全主元消元法 在列主元消去法中,若每次选主元不局限所在列中,而在整个主子矩阵中选取,便称为全主元高斯消元法,此时增加的步骤为: ,确定ik , jk
5、, 若 =0, 给出=0的信息,退出计算. 作如下行交换和列交换 行交换:(k j n) 列交换:(k i n) 值得注意的是,在全主元的消元法中,由于进行了列交换,x各分量的顺序已被打乱.因此必须在每次列交换的同时,让机器“记住”作了一次怎样的交换,在回代解出后将x各分量换回原来相应的位置,这样增加了程序设计的复杂性.此外作步比较大小时,全主元消元法将耗用更多的机时.但全主元消元法比列主元消元法数值稳定性更好一些.实际应用中,这两种选主元技术都在使用. 选主元素的高斯消元法是一种实用的算法,它可以应用于任意的方程组Ax=b,只要A0. 高斯-若当(Gauss-Jordan)消元法 很多问题都
6、需要计算方阵的逆阵.线性代数中有多种求逆方法,本节讨论求A-1的数值方法.A非奇异,求A-1 设X=A-1,AX=I,将X和I列分块,得n个线性方程组: Axi=ei , i=1,2,n.解这n个线性方程组就求得A-1,原则上,所有解的方程组的方法都能求A-1.实际计算中使用较多的是高斯-若当消元法.高斯-若当消元法 高斯-若当消元法是高斯消元法的一种变形.高斯消元法是消去对角元下方的元素.若同时消去对角元上方和下方的元素,而且将对角元化为1,就是高斯-若当消元法. 设高斯-若当消元法已完成k-1步,于是Ax=b化为等价方程组A(k)x=b(k),增广阵在第k步计算时,考虑将第k行上下的第k列
7、元素都化为零,且akk化为1.对k=1,2,n 1按列选主元,确定ik使 2换行,交换增广阵第k行和第ik行(j=k,k+1,n),3 3.计算乘数 mik= - aikakk mkk=1akk. 4消元 aij=aij+mikakj(i=1,2,n,且ik,j=k+1,n) bi=bi+mikbk (i=1,2,n,且ik) 5主行计算 akj=akjmkk (j=k,k+1,n) bk=bkmkk当k=n时, 显然xi=bi,i=1,2,n就是Ax=b的解.(i=1,2,n, ik) 高斯-若当消元法的消元过程比高斯消元法略复杂,但省去了回代过程,它的计算量约为n3/2,大于高斯消元法.也
8、称为无回代的高斯消元法.求方阵的逆 高斯-若当消元法解方程组并不比高斯消元法优越,但用于矩阵求逆是适宜的,实际上它是初等变换方法求逆的一种规范化算法:例例3 3 所以 将高斯-若当消元法算法略加改造便成了求逆的算法. AX=I 对 k=1, 2, , n 1按列选主元, 确定ik k 2换行, 交换第 k 行和 ik 行(j=k,k+1,n)(j=1,2,n) 3计算乘数 mik=-aikakk , , (i=1,2, ik) mkk=1akk 5主行计算 akj = akj mkk ( j=k,k+1,n) xkj = xkj mkk ( j=1,2,n ) A-1=(xij)nn 应该注意
9、到,在上述算法中都加进了选列主元的步骤,它可以保证在方阵A非奇异的情况下都能求得A-1.求逆算法中不宜使用全面选主元,否则会改变逆阵元素的排列,增加程序设计的复杂性. . 4消元 aij = aij + mikakj,(i=1,2,n,且ik, j=k+1,n) xij = xij + mikxkj,(i=1,2,n, 且ik, j=1,2,n) Ax=b是线性方程组,A是nn方阵,并设A的各阶顺序主子式不为零。 令A(1)=A,当高斯消元法进行第一步后,相当于用一个初等矩阵左乘A(1).不难看出,这个初等矩阵为其中其中mi1 (i=2,3,n) 由式由式(2.9)确定确定,即即5 5 矩阵的
10、三角分解同样第同样第 k 步消元有步消元有进行进行n n-1-1步后步后, ,得到得到A A( (n n) ) , ,记记U=AU=A( (n n) ), ,显然显然U U 的下三角部分全化的下三角部分全化为零元素为零元素, ,它是一个上三角阵。整个消元过程可表达如下它是一个上三角阵。整个消元过程可表达如下: :其次指出其次指出已知已知U是上三角矩阵是上三角矩阵,下面讨论下面讨论L的性态的性态,首先指出首先指出L L相当是由各相当是由各L L-1-1k k ( (k k=1,2,=1,2, ,n n-1)-1)的所有左下元素拼凑的所有左下元素拼凑后加上对角元后加上对角元1 1而得而得. .当当
11、A A进行进行LULU分解后分解后, ,Ax=bAx=b就容易解了就容易解了. . 即即Ax=bAx=b等价于等价于: :这这样样, ,Ax=bAx=b分分解解为为解解两两个个三三角角形形方方程程组组, ,三三角角形形方方程程组组是是极极易易求解的求解的. .(*)(*)即是高斯消元法的矩阵表述即是高斯消元法的矩阵表述. .定理定理7 7 矩阵矩阵 A An nn n, ,只要只要A A的各阶顺序主子式非零的各阶顺序主子式非零, ,则则A A可以可以分解为一个单位下三角阵分解为一个单位下三角阵L L和一个上三角阵和一个上三角阵U U的乘积的乘积, ,即即A=LUA=LU, ,且这种分解是唯一的
12、且这种分解是唯一的. . ( (P173)P173)L L是下三角矩阵是下三角矩阵, ,且所有的对角元为且所有的对角元为1,1,故称为单位下三角阵故称为单位下三角阵. .这这样样, ,A=LUA=LU称为称为A A的的LULU分解分解, ,其中其中L L是单位下三角阵是单位下三角阵, ,U U是上三角阵是上三角阵. .例1选主元素的矩阵表示 直接直接LULU分解法分解法A A的的LULU分解可以用高斯消元法完成分解可以用高斯消元法完成, ,但也可以用矩阵乘法原理推但也可以用矩阵乘法原理推出另一种方法出另一种方法, ,结果是完全一致的结果是完全一致的由矩阵乘法公式可推出直接由矩阵乘法公式可推出直
13、接LULU分解算法分解算法, ,也称杜利特也称杜利特( (Doolittle)Doolittle)紧凑算法紧凑算法, ,现总结如下现总结如下: :1.1.矩阵分解矩阵分解: :A=LUA=LU，记记例如：2.解 L y = b3.解 U x = y杜利特算法可用文字描述如下杜利特算法可用文字描述如下: :将将A A的元素划分为形如的元素划分为形如“”的的n n框框, , 如如A A的第一行和第一列元的第一行和第一列元素为第素为第一一框框, ,紧靠第一框内部的第二行和第二列元素为第二框紧靠第一框内部的第二行和第二列元素为第二框, ,依此类推依此类推, ,a annnn一个元素为第一个元素为第n
14、n框框. .为便于描述我们称原为便于描述我们称原A A矩阵中矩阵中元素为元素为a a元素元素, ,计算后每框中的每行元素为计算后每框中的每行元素为u u元素元素( (包含对角元包含对角元素素),),每列元素为每列元素为l l元素元素( (不包含对角元素不包含对角元素).).杜利特算法实际上就是高斯消元法的另一种形式杜利特算法实际上就是高斯消元法的另一种形式. .它的计算量它的计算量与高斯消元法一样与高斯消元法一样. .但它不是逐次对但它不是逐次对A A进行变换进行变换, ,而是一次性地而是一次性地算出算出L L和和U U的元素的元素. .L L和和U U的元素算出后的元素算出后, ,不必另辟存
15、贮单元存放不必另辟存贮单元存放, ,可直接存放在可直接存放在A A的对应元素的位置的对应元素的位置, ,节省存贮单元节省存贮单元, ,因此也称为因此也称为紧凑格式法紧凑格式法. .也可以用增广矩阵也可以用增广矩阵也可以用增广矩阵也可以用增广矩阵 A:bA:b进行以上操作进行以上操作进行以上操作进行以上操作, ,这时每框要多算一个这时每框要多算一个这时每框要多算一个这时每框要多算一个u u元素元素元素元素, ,结果矩阵中的最后一列就是结果矩阵中的最后一列就是结果矩阵中的最后一列就是结果矩阵中的最后一列就是 Ly=b Ly=b 的解的解的解的解, ,回代时只要解回代时只要解回代时只要解回代时只要解
16、 Ux=y Ux=y 就行了就行了就行了就行了. .当用手工计算小型线性方程组的解时用手工计算小型线性方程组的解时用手工计算小型线性方程组的解时用手工计算小型线性方程组的解时, ,用此方法比较方便用此方法比较方便用此方法比较方便用此方法比较方便. .这样我们可以在这样我们可以在这样我们可以在这样我们可以在A A A A上直接修改计算上直接修改计算上直接修改计算上直接修改计算, , , ,作如下的操作作如下的操作作如下的操作作如下的操作: : : :得到的矩阵由得到的矩阵由得到的矩阵由得到的矩阵由L L和和和和U U的元素拼合而成的元素拼合而成的元素拼合而成的元素拼合而成, ,它的上三角部分它的
17、上三角部分它的上三角部分它的上三角部分( (包含包含包含包含 对角元素对角元素对角元素对角元素) )即是即是即是即是LULU分解后的分解后的分解后的分解后的U U矩阵矩阵矩阵矩阵; ;它的下三角部分它的下三角部分它的下三角部分它的下三角部分( (不包含不包含不包含不包含 对角元素对角元素对角元素对角元素) )加上一个单位阵加上一个单位阵加上一个单位阵加上一个单位阵( (即在对角元处全部写为即在对角元处全部写为即在对角元处全部写为即在对角元处全部写为1 1), ),就是就是就是就是L L阵阵阵阵. .(1)(1)第第第第1 1框框框框: : u u元素等于对应的元素等于对应的元素等于对应的元素等
18、于对应的a a元素元素元素元素; ;l l元素等于对应的元素等于对应的元素等于对应的元素等于对应的a a元元元元素素素素 除以本框对角元素除以本框对角元素除以本框对角元素除以本框对角元素; ;(2)(2)第第第第2 2到到到到n n框框框框: : u u元素等于对应的元素等于对应的元素等于对应的元素等于对应的a a元素减去已经算过的各框元素减去已经算过的各框元素减去已经算过的各框元素减去已经算过的各框 中同行同列元素的乘积中同行同列元素的乘积中同行同列元素的乘积中同行同列元素的乘积; ;l l元素除进行以上操作外元素除进行以上操作外元素除进行以上操作外元素除进行以上操作外, ,还要除还要除还要
19、除还要除 以本框对角元素以本框对角元素以本框对角元素以本框对角元素方阵行列式求法在实际问题中,有时会遇到求方阵的行列式.在线性代数中讲到的行列式定义算法和展开算法均不适用于阶数较高的行列式.而LU分解是计算行列式的十分方便和适用的算法.A=LU即只要将U阵的对角元相乘就可得A的行列式.为避免计算中断,还应加上选主元素过程,此时每做一次行交换(或列交换),行列式要改变一次符号,有:其中 p 是进行的行交换次数(对列主元消元法而言),或是行交换和列交换次数的总和(对全主元消元法而言).若选不出非零的主元素,则必有det A=0.克劳特克劳特( (Crout)Crout)分解分解 将将LULU分解换
20、一个提法分解换一个提法: :要求要求L L为一般下三角阵为一般下三角阵, ,U U为单位上为单位上 三角阵三角阵, ,就是克劳特分解就是克劳特分解. .L LT T显然是单位上三角阵显然是单位上三角阵, ,记记这就是克劳特分解。这就是克劳特分解。有有实际上将实际上将A A转置为转置为A AT T, ,进行进行LULU分解分解 A AT T=LU=LU 则则 A=UA=UT TL LT T显然当显然当A A的各阶顺序主子式非零时的各阶顺序主子式非零时, ,它是存在且唯一的它是存在且唯一的. .克劳特分解对应的解法称克劳特算法克劳特分解对应的解法称克劳特算法, ,也可用于解线性也可用于解线性方程组
21、。它的特点是在回代时不做除法方程组。它的特点是在回代时不做除法. .它在下文的追它在下文的追赶法中有应用赶法中有应用. .U UT T显然是一般下三角阵显然是一般下三角阵, ,记记 平方根法平方根法 实际问题中实际问题中Ax=bAx=b, ,A A若是若是对称正定矩阵对称正定矩阵, ,则高斯消元法简化为则高斯消元法简化为 平方根法或改进的平方根法平方根法或改进的平方根法. .取取记记记记记记于是于是矩阵的矩阵的LDULDU分解分解证证: : 由条件有由条件有A=LU,A=LU,由分解过程知由分解过程知定理定理 若若A A的各阶顺序主子式非零的各阶顺序主子式非零, ,则则A A可以分解为可以分解
22、为A=LDUA=LDU, ,其中其中L L是单位下三角阵是单位下三角阵, ,U U是单位上三角阵是单位上三角阵, ,D D是对角阵是对角阵, ,且这种且这种分解是唯一的分解是唯一的. .定理定理 设设 A A 对称正定对称正定, ,则存在三角分解则存在三角分解 A=LLA=LLT T, ,L L是非是非 奇异下三角矩阵奇异下三角矩阵, ,且当限定且当限定 L L 的对角元为正时的对角元为正时, , 这种分解是唯一的这种分解是唯一的. .证证 因为因为 A A 对称正定对称正定, ,所以所以A A各阶顺序主子式为正各阶顺序主子式为正. .所以有所以有A=LDUA=LDU,A,AT T=U=UT
23、TDLDLT T=A=LDU.=A=LDU.由由LDULDU分解的唯一性知分解的唯一性知: :U UT T=L, U=L=L, U=LT T所以所以 A=LDLA=LDLT T. .下面证下面证D D的对角元为正数的对角元为正数, ,因为因为 | |L L| |= =1 10,0,所以所以 L LT Ty yi i=e=ei i 必有非零解必有非零解 y yi i 0 0, ,y yi iT TAyAyi i=y=yi iT TLDLLDLT Ty yi i=(L=(LT Ty yi i) )T TD(LD(LT Ty yi i)=e)=ei iT TDeDei i=d=di i对称正定矩阵的
24、乔累斯基对称正定矩阵的乔累斯基( (CholeskyCholesky) )分解分解( (P189)P189)形如形如 A=LLA=LLT T 的分解称为对称正定矩阵的乔累斯基分解。的分解称为对称正定矩阵的乔累斯基分解。这是一个二次型这是一个二次型, ,由由A A 对称正定知对称正定知 d di i 0 0 (i=(i=1,2,1,2, ,n) ,n).由证明过程容易看出由证明过程容易看出是唯一的是唯一的, ,对称正定矩阵的对称正定矩阵的A=LLA=LLT T分解对应于解对称正定方程组分解对应于解对称正定方程组Ax=bAx=b的平方根法的平方根法. . 平方根平方根平方根平方根由矩阵乘法原理容易
25、推出由矩阵乘法原理容易推出L L的元素的元素 l lij ij 的算法的算法: :对对j=1,2,n,计算计算Ax=bAx=b可化为可化为可化为可化为解法是解法是解法是解法是: : : :这就是平方根法这就是平方根法, ,它适用于系数阵是对称正定矩阵的方程组它适用于系数阵是对称正定矩阵的方程组. .它的运算量以乘除法计是它的运算量以乘除法计是n n3 3/6/6左右左右, ,只是高斯消元法的一半只是高斯消元法的一半, ,显然这是因为只计算显然这是因为只计算L L不算不算U U的缘故的缘故. .平方根法不用考虑选主元平方根法不用考虑选主元,这也是它的优点这也是它的优点.它的缺点是要计它的缺点是要
26、计算算n次开平方次开平方,为避免开平方运算为避免开平方运算,发展了平方根法的改进形式发展了平方根法的改进形式,它对应于它对应于A=LDLT分解分解.(方法略方法略) 追赶法追赶法追赶法追赶法 ( (p193)p193)在很多情况下在很多情况下在很多情况下在很多情况下, ,如三次样条插值如三次样条插值如三次样条插值如三次样条插值, ,常微分方程的边值问题等常微分方程的边值问题等常微分方程的边值问题等常微分方程的边值问题等都归结为求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组都归结为求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组都归结为求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组都归结为求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组A
27、x=fAx=f, , 即即即即: :其中其中|i-j|1时时,aij=0,且满足如下的对角占优条件且满足如下的对角占优条件:(1)|b1|c1|0,|bn|an|0(2)|bi|ai|+|ci|, aici0, i=2,3,n-1.用矩阵乘法比较和用矩阵乘法比较和Crout分解可推导总结算法步骤如下分解可推导总结算法步骤如下:1.分解计算分解计算2.2.解解Ly=f3.3.3.3.解解解解Ux=yUx=y实际计算中实际计算中Ax=fAx=f的阶数往往很高的阶数往往很高, ,应注意应注意A A的存贮技术的存贮技术. .已知数已知数据只用据只用4 4个一维数组就可存完个一维数组就可存完. .即即
28、a ai i,b bi i,c ci i,f fi i 各占一个各占一个一维数组一维数组, , i i 和和 i i 可存放在可存放在 b bi i,c ci i 的位置的位置,y yi i 和和 x xi i 则可放在则可放在 f fi i 的位置的位置, ,整个运算可在整个运算可在4 4个一维数组中运行个一维数组中运行. .追赶追赶法的计算量很小法的计算量很小, ,只是只是5 5( (n n-1)-1)次乘除法次乘除法. .追赶法的计算也不要选追赶法的计算也不要选主元素主元素. .5 向量和矩阵的范数 在分析方程组的解的误差及下章中迭代法的收敛时,常产生一个问题,即如何判断向量x的“大小”
29、,对矩阵也有类似的问题.本节介绍n维向量和nn矩阵的范数.向量范数向量范数定义 x 和y 是 Rn 中的任意向量, 向量范数是定义在Rn上的实值函数,它满足:(1) x 0,并且,当且仅当x=0时, x =0;(2) k x =|k| x , k是一个实数;(3) x + y x + y 容易看出, 实数的绝对值,复数的模, 三维向量的模都满足以上三条, n维向量的范数概念是它们的自然推广.常使用的向量范数有三种,设x=(x1,x2,xn)T 容易验证,它们都满足定义中的三个条件. .例 x=(1,0.5,0,-0.3)T, 求解解: :定义 设A是nn矩阵,定义为矩阵A的范数.矩阵范数矩阵范
30、数这样定义的范数有如下性质:从向量范数出发,可以定义矩阵的范数.(1) A0,并且,当且仅当A是零矩阵时, A =0(2) kA= |k|A(3)两个同阶方阵A,B,有A+BA+B(4)A是nn矩阵,x是n维向量,有AxAx(5)A,B都是nn矩阵,有ABAB矩阵范数最常用的有以下三种:（1 是ATA的最大特征值）它们分别与向量的三种范数对应,即用一种向量范数可定义.相应的矩阵范数定理定理1515即对任意给定的两种范数 有下列关系: c1 c2 其中的c1,c2是正的常数, 表示向量,也可以是 矩阵的范数.Rn空间上的范数等价从以上定理看出,当向量或矩阵的任一种范数趋于零时,其它各种范数也趋于
31、零.因此讨论向量和矩阵序列的收敛性时,可不指明使用的何种范数；证明时,也只要就某一种范数 证明就行了.序列的收敛定义定义如称向量序列x (k)收敛于向量x. 记作:有了向量和矩阵范数的概念,就可以定义向量和矩阵定义定义如称常方阵序列A (k)收敛于方阵A 记作:为任一种范数. 则称为A的谱半径.定理定理1919 方阵谱半径和方阵范数有如下关系:定理定理1616其中谱半径定义 设n 阶方阵A的特征值为j (j=1,2,n),证:设i是A的任一特征值,xi为对应的特征向量两边取范数,用矩阵性质(4)有:|i|x iAx i因为 x i 0,所以x i0i=1,2,n, Axi= ixi所以 |i
32、|A所以 (A)=max|i |A. 的充要条件是(A)1.例例求A1,A2 ,A, (A).解: 显然A1 =4, A=4 57定理定理 设A是nn阶矩阵,A的各次幂组成的矩阵序列 I,A,A2, ,Ak, 收敛于零,即证明从略.定理定理20 对于实对称矩阵对于实对称矩阵A, 则则定理定理21 如果如果 ,则则 为非奇异矩阵为非奇异矩阵, 且且 条件数及病态方程组线性方程组 Ax=b 的解是由系数阵A及右端向量b决定的.由实际问题中得到的方程组中,A的元素和b的分量,总不可避免地带有误差,因此也必然对解向量x产生影响.这就提出一个问题:当A有误差A,b有误差b时,解向量x有多大误差?即当A和
33、b有微小变化时,x的变化有多大? 若A和b的微小变化,也只导致x的微小变化,则称此问题是“良态”的；反之,若A和b的微小变化会导致 x 的很大变化,则称此问题为“病态”问题.6 误差分析在以下的讨论中, 设A非奇异, b0,所以|x|0. 1.设Ax=b中仅b向量有误差b ,对应的解x发生误差x , 即:注意到Ax=b,所以Ax=b,若A非奇异,有 x=A-1b.所以 xA-1 b . 又因 b=AxAx, 所以 两式相除,有即x 的相对误差小于等于b 的相对误差的AA-1倍. .2.A 有误差A ,b无误差,此时有类似的结论。定义定义若nn方阵A非奇异,则称AA-1为A的 条件数,记为 Co
34、nd(A)=AA-1 由于选用的范数不同,条件数也不同,在有必要时, 可记为 Condp(A)=ApA-1p (p=1,2, ).(P207)3.由以上分析不难看出,当b和A一定时,AA-1 的大小,决定了x 的相对误差限. AA-1越大时,x 可能产生的相对误差越大,即问题的“病态”程度越严重.同 时,我们看出,Ax=b 的“病态”程度,只与A的元素有关,而与 b的分量是无关的.为此,我们有:由于1=I=AA-1AA-1=cond(A),可知cond(A)总是大于等于1的数.条件数反映了方程组的“病态程度”. 条件数越小,方程组的状态越好, 条件数很大时, 称方程组为病态方程组.但多大的条件
35、数才算病态则要视具体问题而定,病态的说法只是相对而言. 条件数的计算是困难的,这首先在于要算A-1,而求A-1比解Ax = b的工作量还大,当A确实病态时, A-1也求不准确；其次要求范数,特别是求A2, A-12又十分困难, 因此实际工作中一般不先去判断方程组的病态.但是必须明白,在解决实际问题的全过程中, 发现结果有问题, 同时数学模型中有线性方程组出现, 则方程组的病态可能是出问题的环节之一. 如第三章中提到的拟合问题中出现的正规方程组,就往往呈现病态,此时解决问题的方法之一是避开正规方程组,采用正交多项式拟合的方法,尽管后者比前者在理论上和实际计算中都复杂得多.病态方程组无论选用什么方法去解,都不能根本解决原始误差的扩大,即使采用全主元消去法也不行.可以试用加大计算机字长,比如用双精度字长计算,或可使问题相对得到解决.如仍不行,则最好考虑修改数学模型,避开病态方程组.例 n 阶希尔伯特矩阵当n 较大时,是有名的病态矩阵. . 在函数逼近时,有时得到方程组Hnx=b, 当n 稍大, 用任何方法都难以解出理想的结果. Hn在n稍大时,即呈严重病态.(P208)求cond2(H2),cond1(H2)和cond(H2).例 结束结束
