有限元中的半解析法

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1、有限元中的半解析法学院：交通学院 姓名：胡光胜 学号：11S032019在实际生活中，由于求解的问题复杂、规模较大，常规的有限单元法的费用 较高，已经不适用。因此，我们希望找到其他的方法以减少计算工作量，降低费 用。这时，半解析法具有其优势，它是一种离散与解析相结合的方法。目前，常 用的半解析法有三种：有限条法；组合条-元法和有限元线法。1. 有限条法(Finite Strip Method)有限条法是由张佑启先生提出的一种方法，用以解决规则形体问题。本方法 具有工作量小、精度高的优点。下面将以薄板为例，介绍位移场的构造方法。如图1 (a)所示，有一矩形薄板，设每条边界的支承条件相同，图中表示

2、了 三种支承情况，图1 (b)用一些与边界线平行的直线将板分割成若干窄长的条带 以此组成有限元分析中的单元。下面介绍这种条带单元位移场的建立思路。固定地/ y、/Zy图 1 矩形薄板与有限条离散示意图1.1 确定位移模式对于薄板来说，挠度可用分离变量形式表示w(x, y) = f fm(y) Xm(x)(1)m =11.2 边界条件的确定本例中也可取Xm(x)满足条带两端的边界条件的梁振形函数，它是如下微分 方程的解：d 4Xu=()4XdX 4 a式中 u -是振型参数，由边界条件确定图1(a)所示的是一端固定一端简支的情况，则有:3.1)u x sin u u xX (x )=sin -m

3、- 一m sh -m 丿1a sh uam式中，振型参数u由tgu =tanhu确定，具体取值见表1。mmm表 1 u 的取值mm：123$4um3.92667.068510.21024 m + 14其他对边约束条件情况振型函数Xm(x)为:(1) 两端简支(2) 两端固定uxX (x )=sinma=m n3.2)X (x)=V (u x) mmV (u a )mU (U X)U (u a )mm3.3)u 由 cos u ch u =1 确定，取值如下表 2 。 mm m表 2 u 的取值mm：123$4um4.730047.853210.9556082m + 1n23)两端自由2xX 1

4、( x) = 1X 2( x) = 1 - -(3.4)1aT (u x) 一mV (u a)m S (u x)U (uma )mm在m三3时，u由表2中取得。m(4)一端固定一端自由Xm = V(umx) 一T (u a ) m 丿S (u a)mU( umx)3.5)u由cos u ch u = -1确定，取值如下表3。m m mm：12 3u :m1.8754.6942m -1n2表 3 u 的取值m5)一端简支一端自由xX (x)=au x sin u u xX (x )=sinm + sh m-ma shu am3.6)u 从 m=2 开始，按表 1 取值。m在以上各式中， S、T、

5、U、V 是振动理论中的克雷洛夫函数，即u x u xS (u x) = cos -+ chmaau x u xm + s h 亠-aaT (u x) = sinmu x u xU (u x) = cos + ch- maa3.7)V (u x) = sinmu x u xm + sh aa由于振型函数的正交性，Xm(x)存在如下正交关系JaX X dx =JaX X ndx = 0mHn(4)m nm001.3 确定位移场在此过程中，沿短边方向上条间节线的未知位移为参数，在满足收敛性准则的前提下由形函数插值构造。对只有外节线的条元，设左右两侧节线位移参数矩阵为6山、6 2m，相应的形函数矩阵为

6、N、,则有fm(y) = N %6 Tim 6 T2mT(5)若为內节线的高阶条元，记内节线位移参数与形函数为6 3m、N3则fm(y)=N1 N2N36T1m 6T2m 6T3mT其余的可类推。若仅以节线位移为参数时，则fm(y) = 1 _ 工 2 W im 3加bb当以节线位移和转角为参数时，有fm(y) = N % N3 NJ3 Tim 6 幕 W 2m 2mT上式中 Ni 为梁的 Hermite 函数。将fm(y)、Xm(x)带入式，整理后即可得到位移场的标准形式。本例为薄板，则条带单元的位移场为(x, y) = N6 Te(6)本例中的思路也可用来构造二维、三维等问题的位移场，对于

7、三维问题来说 有u (x, y, z) = fm(x, y) Z (x) DUm=1由于任意函数均可展为完备的正交函数，因此，只要级数项数足够大，就可 保证位移场沿条带长边方向趋于精确。如果有一方向可取解析解，离散仅在另外 方向进行，从而使得未知量数目大大减少，二维问题降为一维、三维降为二维。 如采用的是正交函数集，对一些问题由于正交性，各级数项积分不耦联，这也会 减少工作量。1.4 有限条法的不足虽然样条法在实际中有广泛的应用，但依然有一定的局限性：(1) 条元不可能在长边方向连接有限元或其它单元。(2) 当结构的某一边界并非同一支承情况，如矩形板的四条边线，每条边上 均同时存在多种支承情况

8、，显然在边界条件不同的相邻条元间，由于Xm(x)不同, 当然不可能保证位移间的协调性，因此，有限条将无法使用。(3) 即使边界支承条件在同一边界完全相同，但如本例中第一部分薄板情况 Xm(x)有6种情况，程序比较繁琐。2. 组合条-元法(Combinatory Strip-Element Method)为了克服有限条的局限性，而又能保留有限条的一些优点，我们又提出了所 谓的组合条-元法。这是一种将有限条和有限元的特点组合起来的方法。下面我 来介绍组合条-元法的构造思路。与条元法一样，也以窄长条带为单元，但不同的是，节线的两端设置有结点。由于任一函数均可由完备函数集中的基函数来表达，可采用如下两

9、步法构造单元 位移场： （1）由结点位移参数，采用形函数插值构造条带单元的节线位移，这一步与 有限元一样。（2）以上述节线位移作参数，沿条带短边方向进行多项式插值，从而构造条 带的位移场。经过以上两步，即可得到d = N 8e + a = N8幺（7）式中N8e由结点位移参数构造的位移部分；a 沿长边方向由级数构造的位移部分。然后就可以按普通有限元进行分析。 这种方法克服了有限条法的缺陷，币有限元减少了很多未知量。使用这种方 法我们解决了平面问题、薄板问题、折板与平面壳体等的线性与非线性、静力与 动力分析；并联合应用了有限元、组合条元与映射无限元求解过路面力学问题。 是一种可行的方法。2.有限

10、元线法（Finite Element Method of Lines）有限元线法（FEMOL ）是袁駟提出的一种以常微分方程求解器为支撑软件的新型半解析法。有限元线法的构造思路有以下几步：（1）建立参数 FEMOL 的单元映射。为适应复杂形体问题的计算，可建立 母单元与子单元的映射关系。（2）构造参数FEMOL的变量场：单元上的变量场可由节线未知函数u（n） 通过g方向的形函数Ni（g ）插值得到。p + 1uNi（g）ui（耳）=Nue（8）N 二N1（ g ） N2（ ） N 1 （ g）12p + 1Ue 二ui（）n u2 （n） 头 1 （ th）（3）参数FEMOL的能量泛函的确定：结构中每个单元的能量为ne，它是n的函数。则整个求解域的能量为：n n e（9）e（4）建立常微分方程体系：常微分方程建立后，经过一系列的处理后即可 用求解器（Solver ）来求未知节线位移函数。有限线元法中，由于引入参数单元，是可用于不规则区域的求解；由于未知 节线位移是通过解常微分方程组得到的，其自然精度要比其他方法高。也是一种 很有效的半解析方法。小结：半解析法的具体方法有多种，这里只介绍了三种方法。并对有限条法 作了详细的介绍。在实际中每种方法都有其优势，也有其不足。我们应根据具体 的情况和要求，采用某种合适的方法，或者联合使用多种方法进行具体分析，已 达到要求的目的。