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1、啊没立体几何知识点和例题讲解一、知识点常用结论1证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线 平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面 面平行.3证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面 垂直.4证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的 射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5证明直
2、线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相 交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转 化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.a b + a b + a b7夹角公式：设 a= （a ,a ,a ）, b= （b ,b ,b ），贝Icosa, b 二：1 12 233.1 2 31 2 3Ja 2 + a 2 + a 2 J b 2 + b 2 + b 21231238异面直线所成角：cos0 =
3、lcos；a,b I =黑=* 1 xix2 + yiy2 + 丫21（其中0 （0 0 线面 面面判座T线丄线 线丄面 面丄面性质一线线 线丄面 面面线 面 平 行 的 判 定 ：ab, b u 面a, a wan a 面aa线面平行的性质：a丄面a, b丄面n a b面a丄a, 面p丄a nap2、三类角的定义及求法a 面a, a u 面 B，a Pl p = b n ab三垂线定理(及逆定理)：PA丄面a, AO为P0在a内射影，a u面a,则a丄OA n a丄PO； a丄PO n a丄 AO(1) 异面直线所成的角e, ovew9o线面垂直:0、-a平移相交(2)直线与平面所成的角e,
4、 owew9o0 = 0o 时，b a或b u aO n a丄 a面面垂直：面角：二面角alp的平面角0, 01 0 80o(定义法)a丄面a, a u面pnp丄a面a丄面p, aPp = l, aau a, 丄l n 丄p 找出或作出有关的角。 证明其符合定义，并指出所求作的角。 计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。(三垂线定理法：AWa作或证AB丄B于B,作B0丄棱于0,连A0,则A0丄棱l,.ZA0B为所求。三类角的求法：二、题型与方法考点透视】二证,三算”的步骤来完成。不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。
5、【例题解析】考点 1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.11例1如图，正三棱柱abc abc 的所有棱长都为 2 , D 为 CC 中点 11 1 1(I) 求证：AB丄平面ABD ；11(II) 求二面角A- AD-B的大小；1(III) 求点C到平面ABD的距离.1考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的C大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力解答过程：解法一：(I)取BC中点O,连结AO ABC为正三角形，AO丄BC T正三棱柱ABC-ABC中，平面A
6、BC丄平面BCCB ,111 11AO 丄平面 BCCB -11连结BO，在正方形BBCC中，O, D分别为1 11BC, CC的中点，.BO丄BD ,:. AB丄BD1 1 1在正方形ABBA中，AB丄AB ,/. AB丄平面ABD -1 1 1 1 1 1（II）设AB与AB交于点G,在平面ABD中，作GF丄AD于F，连结AF，由（I）得AB丄平面ABD -1 1 1 1AF丄AD ,.ZAFG为二面角A- AD-B的平面角11在 AAD中，由等面积法可求得AF =仝5 ,15又- AG = 2 AB广込，. sin ZAFG =如2 1AF 4/545所以二面角A- AD-B的大小为ar
7、csin卫014(川) ABD 中，BD = AD =、g1 12运S = *6, ADS = 1 -BCD在正三棱柱中，A到平面BCCB的距离为31 1 1设点C到平面A1BD的距离为d由V = V ，得1SA -BCDC-A BD3 BCD11氏=1Sd，3 AJBD3S v2/. d = BCD =S2A1BD点C到平面ABD的距离为迈.12解法二：（I）取BC中点O，连结AO -ABC为正三角形，AO丄BC在正三棱柱ABC - ABC1 1 1中，平面ABC丄平面BCCB ,11. AD 丄平面 BCC B 11取BC中点O，以O为原点，OB ,1 1 1OO，OA的方向为xy，z轴的
8、正方向建立空间直角坐标系，则b（i,o,o）,D(-1,1,0)，A(0,2,3)，A(0,0,3),B (1,2,0) ，1AB =（12,-、3），1BD = (-210)，BA =1(-1,2,3)-ABBD = -2 + 2 + 0 = 0，AB BA =1 + 4 3 = 0，1 1 1AB 丄 BD，AB 丄 BA 1 1 1.AB 丄平面 A1BD11（II）设平面a ad的法向量为n = （x, y, z）-in 丄 AD，n 丄 AAjAD = (1,1, 3) , AA1 = (0,2,0)nAD = 0,. x + y 3 z = 0, J y = 0， “阿=0/12
9、y=0ix 一辰令z = 1得n = （3,01）为平面A AD的一个法向量.i由（I）知AB丄平面ABD ,1 1.AB为平面ABD的法向量.1 1cos =1nAByf3 石 _昱.22 724二面角A AD B的大小为arccos（III）由（II）, AB为平面ABD法向量，1 1 BC = (-2,0,0),环=(12, 73)点C到平面A1BD的距离d=晋=222卑1小结：本例中（III）采用了两种方法求点到平面的距离解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B 点到平面AMB1的距离转化为容易求的点K到平面AMB1的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解 法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法 考点2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离 例2已知三棱锥S - ABC，底面是边长为4迈的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点
