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1、浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用、仿射变换思想方法J X2y2|xy厂椭圆C：a + b = 1 （a0,b）中，令x= a， y= b，则椭圆方程变为单位圆C： x2 + y2 =1，该变换 过程称为仿射变换。相当于在xoy与xoy两个坐标系来研究问题，但圆中几何意义明显，便于计算。但最后要还原到椭圆中去解决问题。 变化前后点的坐标对应变化：（x,y）- （x, y） =（x, y） -（x,y）= （ax,bo二、性质1、点线关系不变（1）同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线（2）结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上（3）原三点共线，后三点也共线；原直线平行，后直线
2、也平行2、原弦长|AB|,斜率k,后弦长|AB|，|AB|= J；晋 |AB| （其中m= *）23、直线与圆锥曲线的位置关系不变（相切、相交）x2 y2x y已知直线LAx+ Bx+ C二0，椭圆c：可+ b = 1,讨论直线与椭圆的位置关系。由X= a，y= b，仿射变换 后，直线l：Ax+ Bx + C二0变为l:Aax+ Bbx+ C二0。（此结论可以作为公式背下，提高平时做题的速度）椭圆变 为C： X2 + y2 = 1，由直线与圆的位置关系易得答案。x2例1已知直线x + y- 3=0，椭圆吻+ y2 = 1,则直线与椭圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离 D.相切或相交xx
3、2解由x二之，y二y仿射变换后，直线+ y- 3=0，椭圆4 + y2=1分别变为直线2x+ y-3=、椭圆心+%=1,而直线2x+y-3=0到圆x2+%=1的距离d誤 茶1所以直线和圆相离，由于仿射变换直线与圆锥曲线的位置关系不变，所以原直线和椭圆相离。选Cx? V?例2、直线2x- y+1 = 0与椭圆# +16 = 1的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离 D.相切或相交解：由J 2 y= ?仿射变换后，直线2X- y +1 = 0，椭圆 161分别变为直线4x-4y+1 = 0、椭圆X；+y2 = 1, 而直线4x-4y+1 = 0到圆x2+y2 = 1的距离d = J1 b 0)的
4、内接三角形的面积的最大值为x y解：令x= a,y= ，化椭圆为x2+y2 = 1,在xoy坐标系中，而当圆x2+/ = 1的内接三解形为正三角形时，三角形的面积取最大值。例3椭圆中心在坐标原点A(2,0) , B(0,1)是它的两个顶点直线y = kx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，则四边形AEBF的面积的最大值为x2x y由条件可得椭圆方程为_4 + y2 = 1,令x= _玄,化椭圆为x2+/ = 1,在xoy坐标系中，四边形AEBF的面1积的最大值在EF丄AB时取得，此时S = 2 x 2，由S二abS可得对应的椭圆中四边形AEBF面积的最X2y2例4已知椭圆a +
5、= 1(a b 0)，F、F分别为椭圆左右焦点，过F、F作两条互相平行的弦，分别与椭 a2 b21212圆交于M、N、P、Q四点，若当两条弦垂直于X轴时，点M、N、P、Q所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为.分析利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M、N、P、Q四点分别变换为M、N、P、Q四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆HM、N、P、Q四点所形成的平 行四边形面积最大值仍在两条弦与X轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点、F，12 当OF为多少时，能使得过F、F的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个
6、交点所形成的面积最大1 1 2a小解作仿射变换，令x二x,y =3，可得仿射坐标系Oy，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆2+ y2 = a2，b(c点F、F坐标分别为(-c,0)、，0)，过F、F作两条平行的弦分别与圆交于M、N、P、Q四点由平行四边形性1 2 1 21_质易知，三角形PPQ的面积为M、N、P、Q四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形0PQ面 _ 4(虫.大值在弦P Q与x轴垂直时取到故此题离心率的取值范围为/积的最大值在弦PQ与x轴垂直时取到即可由文2中的结论，易得当丘丨 a |时，三角形PQ面积的最 b ）上的一点，A、B是椭圆的两个顶点，则直线MA和直线MB的斜率之积
7、为一，也 bk，2.X y.解：令X = -a，y = b，化椭圆为x 2+y2 = 1，tfx oy坐标系中，MA和直线MB的斜率之积为kkb bb2则还原到原椭圆中MA和直线MB的斜率之积为k；号,ak 2=-巫x y，经过变换x二，店 后比值为k,6. 两平行线段或共线线段的比不变（三点共线的比不变）.|a|例4 （长度经过变换）已知向量a = （4,3）， b = 2a ，记k=.樹求k。1解易得k=_4 31a= (a心8 6 b = (a，b)|b|6（a）2 +（b）27、利用仿射变换求椭圆的切线方程例、求过椭圆过.P令来的切线方程为丄x+y = 1，还原：亠+亠 =1即为所求切
8、线方程。xyxyx xy yababa2b8、利用仿射变换求椭圆的蒙日圆问题X V 1已知椭圆2 + 2 =,过椭圆外一点P作两条切线，若两条切线相互垂直，则P点的轨迹方 程为 还饭X2 + V2 = 32 + b其实所求出来的P的轨迹就称作蒙日圆，蒙日圆具有如下性质：过蒙日圆上一点作椭圆的切线，则两切线互相垂直。下面通过一个特殊的例子证明：X2例、求过椭圆+ V2 = 1外一点P（X，y）作椭圆的两条切线PA、PB互相垂直，求点P的轨迹方程。2 00V - V V1 02 =-1,在xoy坐标系X解：令令Xy化椭圆为X2 +山=1两切线斜率乘积k1 k2=-1 =宀y” -少01亠v，- v
9、，中：2x0 - 2x， 2x， -0 1y7 02 =-2n kk =-2,1 202| -kx + y |设过P的圆的切线方程y- y = ka- x）,0 000 二 1 n (x -1k-2x y k+ v，2-1 = 0,0000y2-1又k，k，=-2n x，0=-2n 2x，2+山-3 = 0n X2 + y? = 3，所以P 点的轨迹方程为X2 + y2 = 31 2x2-10000当然，在双曲线中也有类似的性质：x2 y2已知双曲线C：a - b = iab），过双曲线外一点P作两条切线，若两条切线相互垂直，贝P点的轨迹方程为 X2 + y2 = a2 一 b。例1已知椭圆a2+b = 1（ab0）, O为坐标原点，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在点P （异于点A）,使得PO丄PA，则椭圆离心率的取值范围分析此题中的点P满足PO丄PA，即点P在以AO为直径的圆上，也即椭圆工+辽=1（a b0）与以AO为 a2 pt直径的圆有不同于点A的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点变换为点P，贝（J点P与点P的纵坐标之比即为 椭圆短半轴与长半轴之比.a解作仿射变换，令x = x,y =，可得仿射坐标系 b 0）的右准线为直线I
