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1、1.21.2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式第三章第三章内容索引0102自主预习自主预习 新知导学新知导学合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑03随堂练习随堂练习课标定位素养阐释1.会推导和应用长方体对角线的长度公式,并以此推导空间两点间的距离公式,提升逻辑推理素养.2.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的与距离有关的问题,培养数学运算素养.自主预习自主预习 新知导学新知导学一、长方体的对角线【问题思考】1.已知正方体的棱长为a,那么它的对角线长是多少?2.(1)如图3-1-7,连接长方体两个顶点A,C的线段AC称为 长方体的对角线.(2)如果长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么对
2、角线长3.一长方体的长、宽、高分别为3,4,5,则该长方体的对角线长为.图3-1-7 二、空间两点间的距离公式【问题思考】1.空间两点间的距离公式与平面两点间的距离公式有什么区别与联系?提示:区别:平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例:在平面直角坐标系xOy中,已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),联系:空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广,其形式和结构特征是相同的.答案:D【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)在坐标平面xOy内,到点A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的点有无数个.()(2)点A(1,1,0)
3、与点B(1,1,1)之间的距离是1.()(3)将距离公式中两点的坐标顺序互换,结果不变.()(4)不等式x2+y2+z21表示以坐标原点为圆心,1为半径的球.()合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑探究一探究一求空求空间两点两点间的距离的距离【例1】如图3-1-8,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,ACCB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.图3-1-8 解:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图3-1-4.|C1C|=|CB|=|CA|=2,C(0,0,0),A(2,
4、0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2).由中点坐标公式,可得D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),答图3-1-4 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤如下:【变式训练1】已知ABC的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5).(1)求ABC中最短边的长;(2)求AC边上中线的长度.探究二探究二求空求空间点的坐点的坐标【例2】已知点P在x轴上,且它到点P1(0,3)的距离是它到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,求点P的坐标.1.由空间两点间的距离求点的坐标的方法(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出点的
5、坐标,利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离相等,以及其他的一些条件,则可列出关于点的坐标的方程进行求解.2.已知点在坐标轴上(或者在坐标平面内),又满足某些条件,求该点的坐标时,一般根据点所在的位置,设出点的坐标,再由已知条件列出关于点的坐标的方程进行求解.在设点的坐标时,要根据点的特征设参数,这样不但可以减少参数数量,也能简化计算.【变式训练2】在空间直角坐标系中,已知点A(3,0,1),B(1,0,-3).试问:(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?(2)在y轴上是否存在点N,使NAB为等边三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.(2)假
6、设在y轴上存在点N(0,y0,0),使NAB为等边三角形.由(1)知y轴上的所有点都能使|NA|=|NB|成立,所以只要再满足|NA|=|AB|,就可以使NAB为等边三角形.由空间两点间的距离公式,得探究三探究三空空间两点两点间距离公式的距离公式的应用用【例3】如图3-1-9,正方体的棱长为1,以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-xyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.图3-1-9(变问法)若本例条件不变,当Q是CD的中点,点P在AB上运动时,求|PQ|的最小值.与在平面直
7、角坐标系中类似,解决空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.此时,注意利用点的特殊性,往往能使求解过程简化.【变式训练3】如图3-1-10,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=2,|AA1|=3,M,N分别是AB,B1C1的中点,点P是DM上的点,|DP|=a,当a为何值时,|NP|取得最小值?图3-1-10 解:如答图3-1-5,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3),A(2,0,0),B(2,2,0)
8、,M(2,1,0),N(1,2,3).设点P的坐标为(x,y,0),则x=2y(0y1).答图3-1-5 思想方法思想方法转化思想和函数思想在空间中的应用【典例】如图3-1-11,已知正方形ABCD,ABEF的边长都是1,且平面ABCD平面ABEF,点M在线段AC上移动,点N在线段BF上移动,若CM=BN=a(0a).图3-1-11(1)求MN的长;(2)当a为何值时,|MN|最小?解:因为平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,ABBE,所以BE平面ABCD,所以AB,BC,BE两两垂直.过点M作MGAB,MHBC,垂足分别为点G,H,连接NG,易证NGAB.因为CM=BN
9、=a,所以CH=MH=BG=GN=a.以B为原点,BA,BE,BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图3-1-12图3-1-12 1.在空间问题中,涉及求距离问题以及求最值问题时,经常通过建立空间直角坐标系把空间问题转化成代数问题利用函数思想求最值,充分体现转化思想和函数思想的应用.2.距离是几何中的基本度量问题,无论是在几何问题中,还是在实际问题中,都会涉及距离的问题,它的命题方向往往有三个:(1)求空间任意两点间的距离;(2)判断几何图形的形状;(3)利用距离公式求最值.随堂练习随堂练习1.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),其中tR,则A,B两点间的距离的最小值为().答案:C 2.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC的形状是().A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形答案:B 答案:-7或13 4.已知点P(1,0,1)与Q(4,3,-1).(1)求点P,Q之间的距离;(2)求z轴上的一点M,使|MP|=|MQ|.(2)设M(0,0,z),由|MP|=|MQ|,得(0-1)2+02+(z-1)2=42+32+(-1-z)2,解得z=-6,即点M的坐标为(0,0,-6).
