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1、 东山高级中学高二年级数学（理科）学科讲学稿课题：轨迹（1） 课型：新授课主编：杨晶晶 审核：谈俊华 时间：2011.9.2【学习目标】1了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理 2了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程，画出方程所表示的曲线 3在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法4培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【
2、学习重点】理解曲线与方程的有关概念与相互联系，求曲线方程的方法、步骤【学习难点】定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）点随点动型的轨迹方程的求法（相关点法）【学习过程】一、课前预习导学问题： (1)求所A（0,1）B（1，0）线段的垂直平分线的方程；(2)画出方程和方程所表示的曲线问题:方程f(x,y)=0的解与曲线C上的点的坐标，应具备怎样的关系，才叫方程的曲线，曲线的方程？二、课堂学习研讨1. 运用反例，揭示内涵由上面得出：“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”后，不急于抛物线定义，而是让学生判断辨别问题：下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？（1）;（2
3、）;（3）|x|-y=0.上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例子，又观察、分析了以上问题中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系 2讨论归纳，得出定义讨论题：在下定义时，针对（1） 中“曲线上有的点的坐标不是方程的解”以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程应作何规定？在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线3变换表达，强化理解曲线可以看作是由点组成
4、的集合，记作C；一个关于x,y的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F 请大家思考：如何用集合C和点集F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指点集F是点集合C的子集这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即： 4求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点
5、都是曲线上的点三、讲解范例：例1 解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？(1)点是否在方程为的曲线上？(2)已知方程为的曲线过点，求m的值 例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是例3. 设A、B两点的坐标是(1，0)、(-1,0),若，求动点M的轨迹方程例4 点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.四、课堂练习：1如果曲线C上的点满足方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（ ）A.曲线C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲线是CC.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上D.坐标不满足方程F（x,y)=0的点不在曲线
6、C上2.判断下列结论的正误，并说明理由.（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=0;(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;(3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;(4)ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC中点，则中线AD的方程为x=0 3.方程（3x-4y-12)log2(x+2y)-3=0的曲线经过点A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的_个4.已知点A（-3，0），B（0，），C（4，-），其中在曲线上的点的个数为_个5求点P到点F（4，0）的距离比它到直线+5=0的距离小1的点的轨迹方程6.过点P(2,4
7、)作互相垂直的直线,，若交轴于A，交轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程【反思总结】1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方2. 求简单的曲线方程的一般步骤【达标检测】1点A(1，-2)、B(2，-3)、C(3，10)是否在方程的图形上？2(1)在什么情况下，方程的曲线经过原点？(2)在什么情况下，方程的曲线经过原点？3证明以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程为4证明动点P(x，y)到定点M(-a，0)的距离等于a(a0)的轨迹方程是 4
