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1、n 阶导数计算解析举例例题 1：求y=X3/(1-x)的n阶导数。解：先对 y 进行变形，得： y=x3/(1-x)=-x2(1-x)+x(1-x)+1(1-x)-1/(1-x) =-(x2+x+1)+1/(1-x)=-(x2+x+1)-1/(x-1)。求导有：y =-(2x+1)+1/(x-1)2，y=-2-2/(x-1)3，y=6/(x-1)4，由于1/(X-1)(n)=(-1)nn!/(x-1) n+1 所以 y(n)=(T)n+i*n!/(xT)n+i,n$3.例题 2：求 y=2x3*lnx 的 n 阶导数。解：法一，例推法对函数依次求导，得：y =6x2lnx+2x2 y=12xl
2、nx+6x+4x=12xlnx+10x y=12lnx+12+10=12lnx+22./ (lnx)(n)=(T)n+i(nT)! .y(n)=12*(T)n-2(n-4)!x_(n-3),n$4.法二，n阶导数展开公式法.y=2x3*lnx.y(n)=2Z (O,n)C(n,r)(x)(r)*(lnx) (n-r)=2C(n,0)(x3)(0)*(lnx)(n)+C(n,1)(x3)(1)*(lnx)(n-1)+C(n,2)(x3)(2)*(lnx)(n-2)+C(n,3)(x3)(3)*(lnx)(n-3) =2(lnx)(n)x3+n(3x2)(lnx)(n-1)+C(n,2)(6x)(
3、lnx)(n-2)+C(n,3)6(lnx)(n-3)又(Inx) (n)=(-1) n+1 (nT)!x-n，贝U：(lnx) (n-1)= (-1)n(n-2) !x-(n-1)，(lnx) (n-2)= (-1) n-1 (n-3) !x-(n-2)，(lnX)(n-3)=(T)n-2(n4)!x-(n-3),代入上式得：y(n)=2(-1)n+x3(n-1)!x-n+3nx2(-1)n(n-2)!x-(n-1)+3n(n-1)x(-1)n-1(n-3)!x-(n-2) +n(n-1)(n-2)(-1)n-2(n-4)!x-(n-3)y(n)=2(-1)n-2(n-4)!x-n-(n-1
4、)(n-2)(n-3)x3+3n(n-2)(n-3)x3-3n(n-1)(n-3)x3+n(n-1)(n-2)x3y(n)=12*(-1)n-2(n-4) !x-(n-3), n$4.例题 3：求 y=(cos2x)2 的 n 阶导数。解：先对三角函数进行降幂，得： y=(cos2x)2=(1+cos4x)/2=(1/2)cos4x+(1/2).而(cosx) (n)二cosx+(n n /2),则： (coskx)(n)=kncoskx+(n n /2), 所以：y(n)=22n-icos4x+(n n /2),n$1.例题 4：求y=1/(X2-4x+3)的n阶导数。解：先对函数表达式分母进行因式分解并裂项：y=1/(x2-4x+3)=1/(x-1)(x-3)y=1/(x-1)-1/(x-3)由于1/(x-a)(n)=(-1)nn!/(x-a) n+i ；所以 y (n) = (-1)nn!/(x-1) n+i-(-1)nn!/(x-3) n+i, n$1.
